(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法).docx

文档介绍：
余弦定理的证明方法大全（共十法）
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦
的积的两倍，即在AABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b，则有
a2=b2+c2-2bccos
余弦定理的证明方法大全（共十法）
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦
的积的两倍，即在AABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b，则有
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在AABC中，已知AB=c,AC=b，及角A,求证：a2二b2+c2-2bccosA.
C
图1
证法一：如图1,在AABC中，由CB二AB-AC可得:
CB-CB=(AB-AC)-(AB-AC)
=AB2+AC2-2AB-AC
=b2+c2-2bccosA
即，a2二b2+c2-2bccosA.
证法二:本方法要注意对ZA进行讨论.
(1)当ZA是直角时，由b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos900=b2+c2=a2知结论成立.
⑵当ZA是锐角时，如图2-1,过点C作CD丄AB，交AB于点D,则
在RtAACD中，AD=bcosA,CD=，BD=AB-AD=c-bcosA.
C
在RtABCD中，由勾股定理可得：
BC2=BD2+CD2
=(c-bcosA)2+(bsinA)2
=c2-2cbcosA+b2
即，a2=b2+c2-2bccosA.
说明：图2-1中只对ZB是锐角时符合，而ZB还可以是直角或钝角•若ZB是直角，图中的


点D就与点B重合；若ZB是钝角，图中的点D就在AB的延长线上.
⑶当ZA是钝角时，如图2-2,过点C作CD丄AB，交BA延长线于点D,则
在RtAACD中，AD=bcos（兀-A）=_bcosA,CD=bsin（兀-A）=bsinA.
从而，BD二AB+AD二c-bcosA.
在RtABCD中,由勾股定理可得：
BC2=BD2+CD2
=(c一bcosA)2+(bsinA)2
=c2-2cbcosA+b2
即，a2=b2+c2-2bccosA.
综上⑴，（2）,（3）可知，均有a2=b2+c2-2bccosA成立.
证法三:过点A作AD丄BC,交BC于点D,则
BDAD
在RtAABD中，sina=,cosa=
cc
CDAD
在RtAACD中，sinP=,cosp=
bb
由cosA=cos(a+P)=cosacosP-sinasinP可得:
C
图2-2
图3
人ADADBDCDAD2-BD-CDcosA=---=
cbcb
bc
2AD2-2BD-CD=c2-BD2+b2-CD2-2BD-CD
2bc2bc
b2+c2-(BD+CD)2b2+c2-a2
2bc2bc
证法四:在AABC中,由正弦定理可得
a
sinA
b
sinB
cc
sinCsin(A+B)
从而有bsinA=asinB,
②
cs