文档介绍：引 言
从历史上说,，,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算
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然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。
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实例2: （求变速直线运动的路程）
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
以恒代变
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(1)分割
部分路程值
某时刻速度
(3)求和
(4)取极限
路程的精确值
(2)代替
路程的近似值
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从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，他们的分析结构完全相同，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、 近似 求和、 取极限”，或者说都归结为形如 的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义：
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二、定积分的定义
定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义,在 [a, b]内任意插入(n-1)分点 使
T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn }
将 [a, b] 分成 n个小区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n
这些分点构成[a, b] 的一个分法(分割)，记为T,
x1, …, xn-1 ,
分法任意
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各小区间的长度依此记为Δxi= xi- xi-1 ,(i=1,2, …，n)
在 上任取点i Δi , i=1, 2, … , n ，作和
称此和式为 f (x) 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和.
(Rienann和)
注：显然函数 f (x) 在 [a, b] 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组= { }(i Δi , i=1, … , n )的取法有关.
取法任意
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记
如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；
也不论在小区间 上，点 怎样的取法，
只要 时，积分和 存在确定的有限极限
则称函数 f (x) 在 [a, b] 上(黎曼)可积；数 I 称为 f 在 [a, b] 上的定积分. 亦称黎曼积分,
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记为
且数Ⅰ与分法T无关，也与 在 的取法无关.
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在定积分符号中，各部分的名称如下：
(Rienann积分)
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注意：
规定当 a= b 时,
规定当 a > b 时,
函数f(x)在区间[a,b]的定积分的定义要求a≠b且a<b，
如果a=b或a>b,定积分没有意义，为了运算的需要，
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时必定同时有
(3)一般不能用
因为
来代替
时未必有
但
唯一重要的是分割的细度
极限的存在，
与分割T的形式无关，与
的选择也无关；
当
足够小时，
总能使积分和与某一确定的数I无限接近.
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把定积分定义的
说法和函数极限的
说法相对照，
便会发现两者有相似的陈述方式，
因此我们也常用极限符号来表达定积分，
(4) 积分和的极限与函数的极限有很大的区别
积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：
然而，
◆在函数极限
中，对每一个变量x来说，
f(x)的值是唯一确定的；
◆由于积分和与函数f(X),分法T, 取法有关。
而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一个 ，即必须是“任意分法”和“任意取法”下，各种各样的积分和都无限趋近于同一个有限常数，才能说定积分存在。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.
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与
的差别
是
的全体原函数 是