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文档介绍：初等数论教学设计
唐山师范学院滦州分校
朱国
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设
求证:任意两个奇数的平方和不是完全平方数。
数的分解



一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫质数(或素数)。例如,2、3、5、7、11等都是质数。
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫合数。例如,4、6、8、9、10、12等都是合数。

合数的判定
例1 若
求证:
例2 设a为大于1的正整数,则
试断定下面的数是质数还是合数?
21996+1 , 21997+1 ,2 1998+1
∴21996+1 , 21997+1 ,2 1998+1三个数都是合数。

研究质数首先当然得找出质数!2000多年以前古希腊数学家爱拉托散特尼发现一种找出质数的方法称为爱拉托散特尼筛法
方法如下:
一、         1不是质数去掉。
二、         2是质数留下,之后所有2的倍数皆删掉。
三、         3没删掉是质数留下,之后所有3的倍数皆删掉。
四、          4已经删掉,5没删掉是质数留下,之后所有5的倍数皆删掉。
五、           6已经删掉,7没删掉是质数留下,之后所有7的倍数皆删掉。………………………………
依此类推即可找出所有质数。
定理1 设a为大于1的正整数,若p是a的大于1的最小正约数,则p必为质数。
证明采用反证法
定义:若整数p既是质数又是正整数a的约数,则p叫做a的质约数(质因数)。
设a为大于1的正整数,若a没有小于或等于的质因子,则a为质数。
反证法证明,假设a不是质数则a=bc,b>1,c>1
b和c中至少有一个(不然bc>a,不合),
即a不是质数a有小于或等于的质因子,(如果b,c皆不是质数,重复此步骤即可)
当a没有小于或等于的质因子时a为质数。