文档介绍：2、
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函数对称性、周期性和奇偶性规律
、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、周期性：对于函数y€f(x)，如果存在一个不为零的常数t,使得当x取定义域内的每一个值时，都有/(x+T)0对称。
y€f(x)
换种说法：
与y€f(2a-x)关于直线x€a对称。
y€f(x)与y€g(x)若满足f(x)€g(2a―x)，即它们关于x€a对称。
4、y€f(x)与y€2a―f(x)关于直线y€a对称。
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
换种说法：y€/(x)与y€g(x)若满足/(x)+g(x)€2a，即它们关于y=a对称。
5、
y€f(x)与y€2b—f(2a—x)关于点(a,b)对称。
换种说法：y€f(x)与y€g(x)若满足f(x)+g(2a—x)€2b，即它们关于点(a,b)对称。
称.
6、
7、
定理
y€f(a_x)与y€(x_b)关于直线x€2
a+b
对称。
函数的轴对称：
1：如果函数y€fC)满足fQ+X„€f(b—x„，则函数y€
a+b
的图象关于直线x€丁对
推论i：如果函数y€f(x„满足f(a+x)€f(a一x„,则函数y€
的图象关于直线兀€a对称.
推论2：如果函数J€f(x)满足f(X„€f(—x„,则函数y€
的图象关于直线兀€0(y轴)对称.
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
特别地，.
8、函数的点对称：
的图象关于点
的图象关于点°，o)对称.
定理2：如果函数y€f(x)满足f(a+x)+f(a一x)=2b，则函数y€
称.
的图象关于原点(0,0)
推论3：如果函数y€f(x„满足f(a+x)+f(a一x)€0，则函数y€
推论4：如果函数y€f(x„满足f(X„+f(—x„€0，则函数y€
.
三、总规律：定义在r上的函数y€f(x)，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条
一定存在。
四、
试题
1．
已知定义为R的函数f(x)满足f(一x)€，f(x+4)，且函数
在区间6,+…)
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
<2<x2，且x1+x2<4，则
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
恒小于0
恒大于0
可能为0
可正可负.
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
分析：f(—x)=—f(x+4„形似周期函数f(x„€f(x+4„，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
上单调递增，在
f(2一x,„一f(x+2).(2,0)(x)在区间6,+…)
区间(一…,2)上也单调递增我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位
，且函数在
6,+…)上单调递增，所以
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
过适当描点作出它的图象来了解其性质•或者，先用x一2代替x，使f(-兀)„一f(x+4)变形为
f(X)<f(4一x),又由f(一x,„€f(x+4),
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有f(4一x)„fL(x一4)]„f(x一4+4,„—f(x),
fG)+f@)<fQ)+fQ—x_)„fQ)—f(x1,„0