文档介绍：迭代法的收敛条件
*
2021/2/22
*
解线性方程组的迭代法
迭代法的收敛条件
矩阵的谱半径
迭代法的收敛性与迭代矩阵的特征值有关。
定义设A为n阶方阵，
为
A的特征值，
解线性方程组的迭代法
如例３的系数矩阵矩阵
是可约的.
为n阶方阵
假设存在非空集
使得当
而
显然,假设A是可约的,那么A所对应的线性方程组
可化为低阶方程组.
时有
那么A是可约阵.
是不可约的. 而
一般地，设
*
解线性方程组的迭代法
几个常用的收敛条件.
设有线性方程组
以下结论成立：
1. 假设
A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵,那么
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.
2. 假设A为严格对角占优阵,
那么松弛法收敛.
3. 假设A为对称正定阵,
那么松弛法收敛.
因此有: 假设A为对称正定阵,那么松弛法收敛的充分必要
条件是
4. 假设A为对称正定阵,那么Gauss-Seidel迭代法收敛.
*
解线性方程组的迭代法
例: 考虑
A为严格对角占优阵，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel
迭代均收敛.
又如例２中，系数矩阵
非严格对角占优,但
A为对称正定矩阵,
故松弛法收敛。
上述结论的证明可参看[1],[7].
其中
例对线性方程组
讨论Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性.
解:
Jacobi迭代的迭代矩阵为
故Jacobi迭代法收敛.
Gauss-Seidel迭代矩阵
故Gauss-Seidel迭代法收敛.
*
解线性方程组的迭代法
讨论用三种迭代法求解的收敛性。
解:
例4
设有方程组
其中
*
解线性方程组的迭代法
故不能用条件1判别Jacobi迭代的收敛性.
因A为对称矩阵,且其各阶主子式皆大于零,故A为
对称正定矩阵,由判别条件3, Gauss-Seidel迭代法与
松弛法
均收敛.
A不是弱对角占优,
Jacobi迭代法的迭代矩阵为
故推论1不能用
*
解线性方程组的迭代法
其特征方程
*
解线性方程组的迭代法
值得指出的是，改变方程组中方程的次序，即将系
系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。例如
方程组
的系数矩阵为
有根
因此
由定理
Jacobi迭代法不收敛.
*
解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵分别为
它们的谱半径为
由定理
这两种迭代均不收敛.
但假设交换两个方程的次序
得原方程组的同解方程组
其中
*
解线性方程组的迭代法
显然,
是严格对角占优阵,
因此对方程组
用Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代
求解均收敛.
*
解线性方程组的迭代法
误差估计
定理　设有迭代格式
假设
收敛于
那么有误差估计式
证明:
因为
故
于是
存在,
方程组
(即
有惟一解
)
且
从而有
p35
*
解线性方程组的迭代法
取范数得
*
解线性方程组的迭代法
又因为
于是
取范数得
移项得
又
*
解线性方程组的迭代法
将(3-28)代入(3-27)得
有了误差估计(3-26),
根据事先给定的精度
可以估算出迭代的次数k
p32
*
解线性方程组的迭代法
例如对迭代格式
其中
取
有
代入式(3-29)得
*
解线性方程组的迭代法
所以需要迭代13次才能保证各分量误差绝对值
不超过
实际计算时, 常常采用事后估计误差的方法,
即利用相邻两次迭代值之差是否到达精度作为停
机准那么.
更实用.
*
解线性方程组的迭代法
定理　在定理的条件下,有
证明:
因为
所以
*
解线性方程组的迭代法
,为使
只要
, 当
不太接近1时,可用
作为停机准那么,
即为满足精度
之近似解.
拉格朗日(Lagrange )插值
牛顿(Newton)插值
分段线性插值
第5章插值法
样条插值
埃尔米特(Hermite)插值
快速傅里叶变换(FFT)
应用实例
1
消费理论中常常出现这样的问题：
给出一批离散样点,
要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进展加工.
反映在数学上，既函数在一些点