文档介绍：挖掘习题归类应用
——谈一道课本习题的拓展与应用
拜泉县第三中学董云峰
课本中的习题都是经过精心选编的典型题，具有很强的代表性。在平时 的教学和复习当中，如果能对其进行适度挖掘和整理，就会得到一些变式题 组，它对学生熟练掌握基础知识、挖掘习题归类应用
——谈一道课本习题的拓展与应用
拜泉县第三中学董云峰
课本中的习题都是经过精心选编的典型题，具有很强的代表性。在平时 的教学和复习当中，如果能对其进行适度挖掘和整理，就会得到一些变式题 组，它对学生熟练掌握基础知识、提高基本技能及综合运用能力，往往会起 到事半功倍的效果。
在人教版义务教育课程标准实验教科书八年级《数学》上册第十二章第 二节“作轴对称图形"一节中有这样一道探究题：如图1,要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使 所用的输气管线最短？ p
B. A /
A /
L W R
图1 图2
这个题的解法并不难，如图2,作A点关于L的对称点A”连结IB交L 于点P,则点P为泵站，为了证明点P即为所求，我们不妨在直线上任取一 点 Pi,连结 APi、A" BP” 则有 AP=AxP, APlAR, /. AP+BP=A1P+BP=A1B, 在 AARB 中，VA1B<A1P1+BP1 /. A1B<AP1+BP1 即 AP+BP 最短，这就是 几何中的线段最短问题，这个问题中共涉及四个知识点：(1)轴对称的性质； (2)线段垂直平分线的性质；(3)两点之间线段最短；(4)三角形中两边 之和大于第三边。
这个结论的变式和拓展，在实际应用中及中考试题中经常出现，而且这 个问题又是教学中的一个难点，学生应用起来难度较大，所以在综合复习时 最好归类处理，这样有利于学生突破难点，掌握技巧。现从以下几个方面归 纳如下：
卜T M
一、台球中的撞击问题。如图3所示，在一个长方形的台球桌面上，有 黑、白两球分别位于A、B两点，试问：怎样撞击黑球A,才能使A球先碰撞 台边CD,反弹后再击中白球B?
图3 图4
此题可作B点关于CD的对称点Bi,连结BiA,交CD于点P,故击球线路 为 A—P—B。
若图3中的已知条件不变，试问：怎样撞击黑球A,才能使A球连续碰 撞台边CD、CN,反弹后再击中白球B?
如图4,,连结 AB,分别交CD、CN于点Pi、P2,故击球路线为A-P1-P2—B。
台球撞击问题，就是线路最短问题的一个应用。
二、 饮马问题，如图5, A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵 出马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
作点A关于MN的对称点A】，作点B关于L的对称点Bi,连结AB,分别 交MN、L于点Pi、P2,故这一天最短的行走路线是AP1+PR+P2B。
三、 正方形中线路最短问题。如图6已知正方形ABCD的边长为8, M在
CD上且DM=2, N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值。
图6
解，连结BD,因为正方形ABCD是轴对称图，所以B、D两点关于直线 AC对称，连结BM交AC于点N,此时DN+NM最小，且最小值为 DN+NM=BN+NM=BM= ^BC^+CM^ = 7 82+62 =10o
如图7,正