【精品】PPT课件 第二节 对坐标的曲线积分.ppt

文档介绍：第二节对坐标的曲线积分
一对坐标的曲线积分的概念与性质

设一个质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B.
在移动过程中,这质点受到力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用,
其中函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续,要计算在上述移动过程中
变力F(x,y)所作的功.
力F作的功W等于两个向量F和AB的数量积
我们知道,如果力F是常力,且质点沿直线从A到B点,则常
现在是一个变力,力在变化,方向也在变化,要解决这种变力
使物体做曲线运动时所做的功,我们按定积分的思路和方
法做.
可看成直线段,即质点沿小弧段的运动可为沿直线段的运动.

(1)分割
,
(2)取近似
由于F的变化的连续性,及直线段很小,F在小弧段
x
y
A
B
Mi-1
Mi
F(ξ,η)
再设点Mi的坐标为(xi,yi)(i=1,2...n),记
是F(x,y)在x轴和y轴上的投影.
设F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,其中P(x,y)和Q(x,y)
在x轴,y轴上的投影为
则
(3)求和
(4)取极限
令
这就是变力沿曲线所做的功. 现在我们抽去问题的物理意义,
于是
则
得到下面的定义:
在L上有界,按L的方向顺序用分点
把L分成n个小弧段(i=1,2...n),小弧段在x,y轴上的
取任意点
定义:
设L是从点A到B的一条有向光滑曲线,函数P(x, y)和Q(x, y)
坐标增量记为
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分.
记作
若和式
值为函数P(x,y),Q(x,y)沿曲线L从A到B的对坐标的曲线积分.
当各小弧段长度的最大值
时极限总存在,则称此极限
当Q=0 时,
为P(x,y)对坐标x的曲线积分;
当P=0 时,
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
上述定义可推广到空间曲线Γ的情况:
按定义,变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿曲线L从A到B对质点
做的功,可表示为曲线积分
性质1
性质2
若光滑曲线L=L1+L2 ,则
性质3