文档介绍：第三章矩阵
§ 矩阵的运算练习题
1. 如果矩阵 X 满足 X+2A=B-X,其中
⎛⎞10− 1 ⎛⎞321
⎜⎟⎜⎟
A= ⎜⎟03 2,B= ⎜⎟402
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠30− 2 ⎝⎠010−
求 X。
2. 已知矩阵
⎛⎞130
⎛⎞123 ⎜⎟
A= ⎜⎟,B= ⎜⎟210,
⎝⎠031 ⎜⎟
⎝⎠101
计算AB,AB-ABT.
3. 设矩阵
⎛⎞110
⎜⎟
A= ⎜⎟011,
⎜⎟
⎝⎠001
计算An,其中n为正整数。
T
4. 设α=−(1, 0, 1),矩阵 A=αα T 。计算 aE− An ,其中 E 为三阶单位阵,n 为正整数。
5. 设 4 阶矩阵
A= ()α,,,γγγ234,B= (β,,,γγγ234) ,
其中α,,βγ234 , γ, γ均为 4 维列向量,且已知行列式 AB= 4,= 1. 求 A+ B 。
6. 设A为n阶矩阵,n为奇数,且满足AAT=E, A1= 。求 A-E 。
⎛⎞110
⎜⎟
7. 设矩阵 A= ⎜011⎟。求 3 阶矩阵 X,使得 AX=XA。
⎜⎟
⎝⎠001
。证明如果AAT=O,则A=O。
9. 设A,B是n阶实矩阵,若A2=A,B2=B,则称A,B为幂等阵。已知A,B是幂等阵,证明
A+B也是幂等阵的充要条件是AB=BA=O。

§ 几种特殊的矩阵练习题
1. 设矩阵
1
⎛⎞a1
⎜⎟
a
A= ⎜⎟2 ,
⎜⎟O
⎜⎟
⎝⎠an
其中两两不同。证明:与可交换的矩阵必是对角阵。
aa12,,,L an A
2. 设 A 是 n 阶对称矩阵,B 是 n 阶反对称矩阵。证明:AB 是反对称矩阵的充分必要条件是
AB=BA。
§ 分块矩阵练习题
1. 设矩阵
⎛⎞3400
⎜⎟
4300−
A= ⎜⎟
⎜⎟0020
⎜⎟
⎝⎠0022
利用分块矩阵求 A8 。
2. 设矩阵
⎛⎞a 100 ⎛⎞a 000
⎜⎟⎜⎟
00a 0 10a 0
A= ⎜⎟,B= ⎜⎟
⎜⎟00b 1 ⎜⎟00b 1
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠000b ⎝⎠000b
利用分块矩阵计算AAT,(A-B)BT。
3. 设矩阵
⎛⎞−11 1− 1
⎜⎟
1111−−
A= ⎜⎟
⎜⎟1111−−
⎜⎟
⎝⎠−11 1− 1
利用分块矩阵求A6。
4. 设 A,B 均为 n 阶矩阵。证明:
AB
= A+B A - B 。
BA
§ 逆矩阵练习题
* -11 *
1. 求下列矩阵A的伴随矩阵A ,并用伴随矩阵求逆公式 A= A求其逆矩阵。
A
2
⎛⎞143
⎛⎞ab ⎜⎟
(1)A= ⎜⎟,0ad− bc ≠.(2)A= ⎜⎟−−120。
⎝⎠cd ⎜⎟
⎝⎠223
2. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵.
⎛⎞1111
⎛⎞11− 1 ⎜⎟
⎜⎟11− 1− 1
( ) ( ) ⎜⎟。
1 A= ⎜⎟21 0. 2 A=