文档介绍：4/6
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主对角行列式：主对角元素的乘积；
④、
\r|和|丄|：副对角元素的乘积x（_ifT；
拉普拉斯展开式：
=AB、
=(-1)加nAlB|
线性代数期末复****知识点考点总结
乘A的各行元素；右乘,九乘A的各列元素;i
-i
对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,J)-i二E(i,J)，例如:
1丿
倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))-1=E(i(1)),例如:k
-1
1丿
、
(k丰0)'
f1k]
-1
f1-k]
⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k))，且E(ij(k))-1—E(ij(-k))，如:
1
—
1
[1丿
I1丿
(k丰0)；
矩阵秩的基本性质：
①
②
③
④
⑤
⑥
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0<r(A)<min(m，n)；
mxn
r(AT)—r(A)；
若^B，则r(A)—r(B);
若P、Q可逆，则r(A)—r(PA)—r(AQ)—r(PAQ);max(r(A)，r(B))<r(A，B)<r(A)+r(B);(探r(A+B)<r(A)+r(B)；(探
r(AB)<min(r(A)，r(B));(探
mxn矩阵,B是nxs矩阵，且AB-0，则:
可逆矩阵不影响矩阵的秩)
、如果A是
I、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论);
II、r(A)+r(B)<n
、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)>r(A)+r(B)-n;三种特殊矩阵的方幂：
①、
※)
秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;
'1ac、
型如01b的矩阵：利用二项展开式;
<001丿
二项展开式：(a+b)n二C0An+C1an-1B1++CmAn-mbm++Cn-1a1bn-1+Cnbn—XCmAmbn—m；
n
nn
II、
III、
注：
I、(a+b)n展开后有n+1项;
n(n-1)(n-m+1)
Cm—
n
组合的性质：Cm—Cn-m
nn
利用特征值和相似对角化：
n!
C0—Cn
m!(n-m)!nn
Cm=Cm+Cm-1
n+1nn
XCr二2n
n
r=0
rCr=nCr-1；
nn-1
③、
伴随矩阵
①、伴随矩阵的秩：r(A*)=<
r(A)二n
r(A)二n—1;
r(A)<n一1
②、伴随矩阵的特征值:
(AX=九X，A*=|a|A-1nA*X=—
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③、a=IaIa-i、A*|=Al”-1
关于A矩阵秩的描述：
、r（A）=”,A中有”阶子式不为0,”+1阶子式全部为0;（两句话）
、r⑷<”,A中有”阶子式全部为0;
③、r（A）>n,A中有n阶子式不为0;
线性方程组：Ax二b，其中A为mxn矩阵，则：
、m与方程的个数相同，即方程组Ax二b有m个方程；
、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax二b为n元方程;线性方程组Ax二b的求解：
、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
、齐次解为对应齐次方程组的解；
、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
ax+ax++ax=b
①、
1111221nn1
ax+ax++ax=b
22112222nn2
ax+ax
m11m22
厂aa
②、a11/
2122
a
m2
a
rx、
rb)
1
1
x
b
：2
=
：2
〔七丿
<b丿
++ax=b
nmnn
m
a、
1na
2n
。Ax二b（向量方程,A为mXn
矩阵,m个方程,n个未知数）
mn''m
1
③、
④
(aa
12
x
.2
=P
（全部按列分块，其中
rb)
1
b
.2
bn丿
ax+ax+•••+ax=卩(线性表出)
1122nn
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⑤、有解的充要条件：r（A）=r（A,P）<n（n为未知数的个数或维数）
向量组的线性相关性
m个n维列向量所组成的向量组A
m个n维行向量所组成的向量组B:
a,a，…,a构成