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对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数，Y=_^—,Z—.x:y:z
证明如下:
当M(x,y,z)具有微小变化变为M'(x+dx,y+dy,z+dz)时，势能的增量为:
Mo—_M0-_
dVFdr-FdrM'MMo-_MFdrFdrM'Mo
M'
-MFdr=-Fdr--[XdxYdyZdz]
因此有:
XwV-V
XYZ.:x:y:z
当弹性体变形后，恢复变形到原始状态的过程中，弹性力会做功，做的功等于变形状态改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为：
、，1,、，
V=2"x；x,；「y；z・xyxy•yzyz•zxzx)d”
虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。
要点1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。
要点2:“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。
要点3:“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。
要点4:“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。
要点5:对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任意性。
要点6:根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。
概念辨析：
可能位移：考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为可能位移。
真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是可能位移中的一种。
可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。
设系统的广义坐标为qk(k=1,N),系统的位置状态可以由全部广义坐标表示为：
「=「(qi,q2,...,qN,t)=r「(qk,t),i=1,n
根据微积分的概念，任一质点i的位移增量有如下关系：
.--.N--•ACirOr*Or*Or*Or*riririririri
M=——dq——dq2...dqN—^dt='——dqk—dt
略去上式中与时间有关的增量，将dqk变为虚位移6qk，则可得到质点i的虚位移:
N：r'。寸Mqkk4:qk
上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。
由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个广义坐标qk有虚位移gk时，质点i的虚位移为：
::ri.
'，=——q另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下：
对丁约束方程fk(「,t)=0,有：nn
''E『i='(AxiAyiEzi)=0—品―ex,cy-icZi
例如：
x2y2=(l-ut)2
有：
2xx2yy=0
xxyy=
虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。
力系直中各力作用点的虚位移为：
N--Ti八4环ka:q
则总虚功为：
r（Fi二）］叫
皿

、w='（Fi、，）厂（FL—Lq—F］二、+）='［-i」i-1k-1-qkk4i4qkk」i4
、一-"1、、，—记：Qk=，（Fi，一）为与Sk对应的广义力，则有：i日0kN
讪=、,Qk、qkk4
广义力的计算方法：
（1）记：Fi=X」+Yj+Zjk,得：
Qk=£（E'虫）=£（Xi虫+Y如+乙色）i4：pkj皿邓
（2）单独使一个广义坐标qk发生虚位移6qk,此时的虚功为:
、W=Qk、qk
因此有：
、Wqk
（3）如果所有力均为有势力，根据:
、，N、,Nr:V
X.=——Y=——Z-———ii.，—.
:XiN\N
得:
n.：r
Qk八（FDi注cqkn---八（=）i注：qktq:qkN■：Yi:V-Pk例题2-1:如图双摆，以q、中2为广义坐标,
对于重力R=mg、P2=
m2g的广义力。
解：
方法1:
y1""cos*
y2=11cos1l2cos2
y1_-11sin1、1
y2=-11sin1、［一12sin；、；
州=RW1+P2^y2=P（-11sin中1砰1）+P2（-11sin气&%-12sin甲2&甲2）=—（PP2）11sin"1-P212sin‘2、，2
因此有：
Q1=_（P+B）11sin%
Q2=-P212sin2
方法2:
首先只让％产生一个虚位移神1，两质点的虚位移为：
、,=、.「2="二-:1
虚功为：
M=_p5r1sing_R5r2sin平1=—R11神1sin%—P211砰sin%=-（