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第2章分析动力学基础
对质点系各质点的位移和速度提供的限y,z)。有势力分量与势能具有如下关系:
证明如下:
当M(x,y,z)具有微小变化变为
M'(xdx,ydy,z
dz)时，势能的增量为:
Mo
Mo
dV
Fdr
F
dr
M
1
M
M
0
M
Fdr
F
dr
M
1
M°
M
Fdr
M
1
M'
Fdr
M
Fdr
[XdxYdyZdz]
因此有:
当弹性体变形后,
恢复变形到原始状态的过程中,
弹性力会做功，做的功等于变形状态
#
#
改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变
性能为:
2(XX
zzxyxy
yzyz
zx
zx)d
#
#
虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。
要点1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。
要点2:“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。
要点3:“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。
要点4:“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。
要点5:对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任
意性。
要点6:根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。
概念辨析：
可能位移：考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为可能位移。
真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是
可能位移中的一种。
可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。
设系统的广义坐标为qjk1,N），系统的位置状态可以由全部广义坐标表示
为：
riA（qi,q2,...,qN,t）斤㈡担）,i1,n
根据微积分的概念，任一质点i的位移增量有如下关系：
N
dri丄dqj—^dq2...^-dqN丄dtdqk丄dt
qiq2qNtk1qkt
略去上式中与时间有关的增量，将dqk变为虚位移qk，则可得到质点
N
ri
riqk
k1qk
上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。
由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以独立发生虚位移。
i的虚位移:
当只有一个
广义坐标qk有虚位移qk时，质点i的虚位移为：
#
#
ri
ri
qk
qk
#
另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下:
对于约束方程fk（「t）0,有:
nf
主ri
i1ri
nf
1k(Xi
i1x
fkyiyi
fk
z)0
Zi
例如：
22
xy
(l
ut)2
有：
2xx
2y
y0
xx
yy
0
虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。
力系Fi中各力作用点的虚位移为：
ri
r
qk
qk
#
#
则总虚功为:
#
#
n
(Fi
i1
rj
n
(F
i1
NNn
rr
Lqk)(Fi-qk)
k1qkk1i1qk
r
(Fi-)]qk
1qk
记:
(Fi
i1
5)为与
qk
qk对应的广义力，则有:
Qkqk
k1
广义力的计算方法:
(1)
记：FiXii
Y；jZk，得:
Qk
n
(F」)
i1qk
n
(Xi』Y』
i1qkqk
養）
(2)
单独使一个广义坐标qk发生虚位移
qk，此时的虚功为:
Qkqk
因此有:
Qk
qk
(3)
如果所有力均为有势力，根据:
Xi
V，Y
Xi
得:
Qk
n
(F
i1
n
(Xi
r
qk
Xi
i1qk
n
(VXi
i1Xiqk
V
qk
V
y
yiqk
)
qk
——)
Ziqk
qk
例题2-1:如图双摆,
2为广义坐标,
对于重力Pmig、
的广义力。
解：
方法1：
y1I1cos1