文档介绍：31变化率与导数、导数的计算
2021
Your content to play here, or through your copy, paste in this box, and select样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意
要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆.
解 (1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3
复合而成,
∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2
=10u4=10(2x-3)4.
（2）设u=3-x,
则y= 由y=u 与u=3-x复合而成.
由复合函数的定义可知，中间变量的选择
应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析
函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，
一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基
本函数，逐步确定复合过程.
探究提高
(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+ ,
（4）设y=ln u,u=2x+5,则
知能迁移3 求下列复合函数的导数.
(1)y= ;
(2)y=x ;
(3)
解 (1)y′=-3(1-3x)-4(1-3x)′= .
题型三导数的几何意义
【例4】（12分）已知曲线方程为y=x2,
（1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；
（2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程.
（1）A在曲线上,即求在A点的切线方程.
（2）B不在曲线上，设出切点求切线方程.
解（1）∵A在曲线y=x2上,
∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点.
2分
∵由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4, 4分
因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0. 6分
思维启迪
（2）方法一设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线
方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分
y=kx+5-3k,
y=x2
得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0.
整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10. 10分
所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分
方法二设切点P的坐标为(x0,y0),
由y=x2得y′=2x,∴ x=x0=2x0, 8分
由已知kPA=2x0,即 =2x0.
又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5, 10分
∴切点坐标为(1,1),(5,25),
∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分
由
探究提高（1）解决此类问题一定要分清“在某点
处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.
（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点
坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′(x0),
“在某点处的切线”就是指“某
点”为切点.
（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当
曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且
只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.
知能迁移4 已知曲线 .
(1)求曲线在x=2处的切线方程；
(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.
解（1）∵y′=x2,
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
（2）设曲线与过点P（2，4）的切线
相切于点，
则切线的斜率k=y′|x=x = .
∴切线方程为y-
即
0
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
方法与技巧
，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0.
，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且