文档介绍：《风险管理》公式与模型汇总
第一章风险管理基础
1. 概率(第24 页)
概率是对不确定性事件进行描述的有效的数学工具,是对不确定性事件发生可能性的一种度量。风险是未来结果的不确定性,概率是度量风险的基础。
2. 随机事件与随机变量(第25 页)
在每次随机试验中可能出现,也可能不出现的结果称为随机事件。随机变量是用数值来表示随机事件的结果。
3. 随机变量的数字特征(第26~27 页)
关于随机变量的数字特征,最常用的概念是期望、方差和标准差。
(1) 期望(亦称为期望值、均值)是随机变量的概率加权和,反映了随机变量的平均值。在金融领域中,资产收益率的期望是指投资者持有的资产在下一时期所预期能够获得的平均收益率。
(2) 方差反映了随机变量偏离其期望值的程度。
标准差(波动率)是随机变量方差的平方根。在金融领域中,方差和标准差是用来衡量资产风险的指标,是风险的代名词。通俗地说,方差越大,随机变量取值偏离均值的程度越大,不稳定性也越大,即风险越大。
4. 离散型随机变量(第25~26 页)
(1) 如果随机变量x 的所有可能值只有有限多个或可列多个,即为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能值及与其取值相应的概率,称做离散型随机变量的概率分布。
(2) 期望Σ=
= ⋅
N
i
i i E x x p
1
( ) (1)
其中: i p 为随机变量取值为i x 的概率E(x) 反映了随机变量x 的平均值
(3) 方差Σ=
= −
N
i i Var x x E x p
i 1
( ) [ ( )]2 (2)
其中: i p 为随机变量取值为i x 的概率
Var(x) 反映了随机变量x 偏离E(x) 的程度,即风险
我们可以通过下面这道例题来具体体会上述多个概念。
例题:假定某股票下一年可能出现5 种情况,每种情况对应概率和收益率如下表所示:
概率
收益率 50% 30% 10% -10% -30%
􀁹该股票的下一年的收益率是一个随机变量,只能取5 个数值,50%、30%、
10%、-10%、-30%。
􀁹因为收益率只能取5 个值,该随机变量为离散型随机变量。
􀁹该离散型随机变量的取值50%、30%、10%、-10%、-30%、、、、,则收益率概率的分布如下:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
= −
= −
=
=
=
=
30%
10%
10%
30%
50%
( )
x
x
x
x
x
f x
􀁹收益率的期望
E(x) = ×50%+×30%+×
10%+×(-10%)+×(-30%)
= 10%
􀁹收益率的方差
Var(x) = (50%-10%)2×+(30%-10%)2×+(10%-10%)2×+(-
10%-10%)2×+(-30%-10%)2× =
5. 连续型随机变量(第26 页)
(1) 如果随机变量x 的所有可能值由一个或若干个(有限或无限)实数轴上的区间组成,则为连续型随机变量。连续型随机变量的可能取值有无限多个。我们也可以这样理解:“如果变量可以取到某一区间内任意值,即变量的取值是连续的,那么这个随机变量就是连续型随机变量。”如果存在一个非负可积函数f (x) ,对任意实数a 和b ( a < b ),都有:(2) < < = ∫
b
a
P(a X b) f (x)dx (3)
则称f (x) 为随机变量的概率密度函数,简称概率密度或密度函数。
(3) 期望∫+∞
−∞
E(x) = xf (x)dx (4)
其中: f (x) 为随机变量x 的概率密度函数E(x) 反映了随机变量x 的平均值
(4) 方差∫+∞
−∞
Var(x) = [x − E(x)]2 f (x)dx (5)
其中: f (x) 为随机变量x 的概率密度函数
Var(x) 反映了随机变量x 偏离E(x) 的程度,即风险
6. 常用统计分布的概率密度函数(概率函数)及其期望、方差(第27~29 页)
(1) 均匀分布(连续型)
􀁹概率密度函数
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤
= −
0 其他
1
( ; , )
a x b
u x a b b a (6)
􀁹期望 E(x) = (a + b) / 2 (7)
􀁹方差 Var(x) = (b − a)2 /12 (8)
(2)