直线与直线的位置关系.ppt

文档介绍：知识梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ .特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2 ．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误．如题：当k取何值时，两直线x＋ky＝0和kx＋(1－k)y＝0互相垂直？很可能漏掉解k＝、垂直、重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况．在两条直线l1、l2斜率都存在且不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1·k2＝－．
已知两直线l1x＋ysinθ－1＝0和l22xsinθ＋y＋1＝0，试求θ的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[例2]　过点A(0,1)作直线，使其被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰被点A所平分，求此直线的方程．
[分析]　(1)利用待定系数法可用点斜式求解，注意检验斜率不存在的情形；
(2)也可采用设点的方法，然后利用两点式求解．
已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
[分析]　如右图，由点斜式得l方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值，从而求得l的方程．
[例3]　求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．
[分析]　转化为点关于直线的对称，利用方程组求解．
∴设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
在直线l上任取一点(1,2)，
由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，
由点到直线的距离公式得
在直线l3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
[分析]　(1)在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小①当两定点A、B在直线l的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P为AB连线与l的交点；点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度，如图甲，|P′A|＋|P′B|≥|AB|＝|PA|＋|PB|，当且仅当A、B、P三点共线时等号成立．
②当两定点A、B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则点P到两定点A、B的距离之和最小．
(2)在直线上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大
①当两定点A、B在直线l的同侧时(AB连线与l不平行)，连接A、B两点所在的直线，交直线l于点P，如图乙，在l上任取一点P′，则有||P′B|－|P′A||≤|AB|＝|PB|－|PA|.当P′与P两点重合时，等号成立，最大的值为|AB|.
②当两定点A、B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交l于点P，如图丙可知．
||PB|－|PA′||＝|A′B|时，达到最大．
∵||P′B|－|P′A′||≤|A′B|，当P′与P点重合时，等号成立，最大值为|A′B|.
[例4]　距离为d的两平行直线l1、l2，它们分别经过点M(－2，－2)，N(1,3)，并绕着M、N旋转且保持平行．求当d取得最大值时的两直线l1、l2的方程．
已知直线l：(2λ＋1)x＋(λ－1)y－3λ＝0，圆C：x2＋y2＝4，A(－2,0)．
(1)证明：直线l与圆C总相交；
(2)若圆C上存在两点关于l对称，求λ的值；
(3)当l被圆截得的弦长最短时，在l上求一点P，使得|PO|＋|PA|最小(O为原点)．
1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．
2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1Ax＋By＋C1＝0，l2Ax＋By＋C2＝0的形式．
3．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下几点：
(1)若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求点到直线的距离；
(2)若P在直线l上，则点P到直线l的距离为0，公式仍成立．
4．在使用两平行线间的距离公式时，要先把两直线中x、y的系数化为相同，且都化成一般式后再用公式．
5．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1、l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，