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《不等式》常见考试题型总结
一、高考与不等式
高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本
,由得顶点的横坐标为。
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基本不等式例题
已知, 且，求的最小值及相应的值.
例2. 的最小值为________。
例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）
例4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．
例5. 若，则的最小值是（ ）
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例6．下列各函数中，最小值为2的是( )
A B. C. D.
例7（1）已知，求函数的最大值.
（2）求函数的最小值求的最大值.
练习. 设，则的最大值为
,，且. 求的最大值及相应的的值
例9若x，y是正数，则的最小值是
练习：已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值
、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是
基本不等式证明
例 已知a，b为正数，求证：≥．
例
实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8，问x y分别为多少时用料最省？
基 本 不 等 式 应 用
一．基本不等式
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
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(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
，则（当且仅当时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧：
技巧一：凑项
例1：已知，求函数的最大值。
解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
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变式：设，求函数的最大值。
解：∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
技巧三： 分离
例3. 求的值域。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，