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不等式·用分析法证明不等式·教案
教学目标
通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式．
教学重点和难点
理解分析法的证题格式并能熟练应用．学****必备 欢迎下载
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不等式·用分析法证明不等式·教案
教学目标
通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式．
教学重点和难点
理解分析法的证题格式并能熟练应用．
教学过程设计
师：我们已经学****了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”．
综合法的思路如下：（从上往下看）
（用投影片）
师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，…，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．
但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．
这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．
（复****了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学****分析法的必要性）
分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”．
分析法的思路如下：（从下往上看）
（用投影片）
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师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．
（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）
师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：
（用投影片）
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，
只需证命题B2为真，
……
只需证命题A为真，
今已知A真，
故B必真．
师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径．
下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）
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师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？
（学生讨论，请一学生回答）
生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．
（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）
师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．
但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？
（请一位同学板书）
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=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）
=（a＋b）（a2-2ab＋b2）
=（a＋b）（a-b）2．
由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0， 即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．
生乙：我是用分析法证明的．
证法2：
欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，
即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），
因为a＋b＞0，
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