文档介绍：.
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"最值问题〞集锦
●平面几何中的最值问题…………………01
●几何的定值与最值………………………07
●最短路线问题…………………………… 14
●对称问题…………………………………18
●巧作"对称点〞妙解
所以 AK=AD=AL．而
而
从而
所以 S△ABC≥S△AKL．
－95．在正三角形ABC(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．
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证 设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．
因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，
所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．
假设∠AQ1P1≥90°，那么PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；
假设∠P1Q1C≥90°，那么PQ≤P1Q1≤P1C．
同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，
那么P1C≤BC=AB．
对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．
△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年初中赛题)．
解 如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，那么过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．
(1)假设l与BC相交于D，那么
所以
只有当l⊥BC时，取等号．
(2)假设l′与B′C相交于D′，那么
所以
上式只有l′⊥B′C时，等号成立．
－97．直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．
解 设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而
即 AB≥2．
当AO=BO时，AB有最小值2．从而
所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为
●几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的根本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的根本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
【例题就解】
【例1】 如图，AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，那么CD长度的最小值为．
思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，
DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小，
本例也可设AP=，那么PB=，从代数角度探求CD的最小值．
注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：
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(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
⌒
【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，那么对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数〔 〕
A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动
C．保持30°不变 D．保持60°不变
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，
其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，
动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
研究的量取得定值与最值．
【例3】 如图，平行四边形ABCD，AB=，BC=(>)，P为AB边上的一动点，
直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．
思路点拨 设AP=，把AP、BQ分别用的代数式表示，运用不等式 (当且仅当时取等号)来求最小值．
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【例4】 如图，等边△ABC接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
思路点拨