文档介绍：工作总结 /述职报告/季度汇报 /演讲报告
几何中的应用08119
2018. 06. 02
例1.
求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程.
切线方程
法平面方程
即
即
解: 由于
对应的切向量为
在
工作总结 /述职报告/季度汇报 /演讲报告
几何中的应用08119
2018. 06. 02
例1.
求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程.
切线方程
法平面方程
即
即
解: 由于
对应的切向量为
在
, 故
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
当
曲线上一点
, 且有
时,  可表示为
处的切向量为
则在点
切线方程
法平面方程
有
或
即
例2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
解得
对y求导会怎样?
切线方程
即
法平面方程
即
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
二、曲面的切平面与法线
设有光滑曲面
通过其上定点
对应点 M,
切线方程为
不全为0 .
则  在
且
点 M 的切向量为
任意引一条光滑曲线
下面证明:
此平面称为  在该点的切平面.
 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上.
证:
在  上,
得
令
由于曲线  的任意性 ,
表明这些切线都在以
为法向量
的平面上 ,
从而切平面存在 .
曲面  在点 M 的法向量
法线方程
切平面方程
曲线
在
处的
切线方程:
法线方程:
法向量
曲面
时,
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
几何
意义
法向量
用
将
法向量的方向余弦：
表示法向量的方向角,
并假定法向量方向
分别记为
则
向上,
即γ为锐角.
向上的方向
例3. 求球面
在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程.
解:
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:
切平面方程
即
法线方程
法向量
令
例4. 确定正数k使曲面
在某点相切.
解: 设二曲面在点相切,法向量分别为
二曲面在点 M 相切, 故
又点 M 在球面上,
于是有
与球面
, 因此有
(取正值)
1. 空间曲线的切线与法平面
1) 参数式情况.
空间光滑曲线
切向量
内容小结
空间光滑曲线
2) 一般式情况.
切向量
空间光滑曲面
曲面  在点
1) 隐式情况 .
的法向量
2. 曲面的切平面与法线
空间光滑曲面
2) 显式情况.
法向量
或
向上的方向
向下的方向
作业P100****题9-6
4，5，6，7，10，11，12
预****167; §
感谢您的聆听