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基本不等式及其应用
一、知识结构
二、重点叙述
1. 基本不等式模型
一般地,如果a>0,b>0,则 ,或 ,当且仅当a=b时等号成立。
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基本不等式及其应用
一、知识结构
二、重点叙述
1. 基本不等式模型
一般地,如果a>0,b>0,则 ,或 ,当且仅当a=b时等号成立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:
若a、b∈R,则,当且仅当a=b时等号成立。
2. 基本不等式证明方法
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①利用基本不等式证明不等式或比较大小;
②利用基本不等式求最值或求范围;
③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析
案例1：(1)（2009天津·理）设若的最小值为
A  8        B  4        C 1      D
(2) （2007海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
分析：（1）由是与的等比中项，得 。用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数
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转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得 。
∴，
当且仅当即时，“=”成立。故选择C。
（2）（直接法）∵成等差数列，成等比数列，
∴
∴，
∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。故选D。
另解：（特殊值法）令成等差数列，成等比数列分别都为，则
，故选D。
案例2：(1) （2009重庆·文）已知，则的最小值是（    ）
A．2
B．
C．4
D．5
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(2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.
分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
(1)C；（2）8
解：(1)因为，
当且仅当，且，即时，取“=”号。故选C。    
(2)∵函数的图象恒过定点A，∴的坐标为。
∵点A在直线上，∴。
∵m，n＞0，∴，
当且仅当，且，即时，等号成立。
所以的最小值为8。
案例3：(1)求函数的最大值。
(2)已知正数a、b满足，求ab的取值范围。
(3)已知a,