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第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示
【2013年高考会这样考】
1．考查平面向量基本定理的应用．的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，
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y＝________.
解析 以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，
令AB＝2，则＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋， )．
∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)．
即有解得
另解：＝＋＝＋，
所以x＝1＋，y＝.
答案 1＋
考向二 平面向量的坐标运算
【例2】►(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝，N的坐标和.
[审题视点] 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.
解 ∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)．
∴＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
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设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
∴得∴M(0,20)．
同理可得N(9,2)，∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )．
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析 由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案 B
考向三 平面向量共线的坐标运算
【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
[审题视点] 根据共线条件求k，然后判断方向．
解 若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
若这两个向量共线，则必有
(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0.
解得k＝－.这时ka＋b＝，
所以ka＋b＝－(a－3b)．
即两个向量恰好方向相反，
故题设的实数k存在．
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向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量