文档介绍：电大《高等代数专题研究》作业参考答案
高等代数专题研究作业1
一、单项选择题:1-5:BCBDB
二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、,且是A到B的双射。
4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足:如果,则。则M含有一切自然数,即。
5、对于一个与自然数有关的命题T,若i:若n=1时命题T正确;ii:假设命题T对n<k正确,就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。
三、计算题
1、解:到的映射一共有个,它们是:
,,
2、解:,
3、解:1)在G中,,并且,可表为两个不相交的轮换的乘积:。
2),
3)
四、证明题
1、证明:
2、证明:则于是由a与b惟一确定的(即不会得出以上不同的结果),且为实数,所以“”是一个代数运算。
,
,所以,即“”满足结合律。
3、证明:当n=2时,,因此命题对n=2正确。
当n=4时,,因此命题对n=4正确。
同理可推出命题对,都正确(s为任意自然数),所以命题对无穷多个自然数成立。
设命题对n=k正确,令,则,由归纳假设命题对n=k正确,所以,所发,
即,命题对n=k-1也正确,由反归纳法原理知,命题对一切自然数成立。
4、当n=2时,上述不等式成立,假设,
则
于是对一切的自然数n来说,。
五、简述题
1、答:,给予证明如下:
任取,且,则是单射。
任取,若为奇数,则有,使与之对应;
若为偶数,则有,使与之对应,所以有是满射。
所以是从Z到N的双射。
2、答:空集合的幂集不是空集合。应为。
高等代数专题研究作业2
一、单项选择题:1-5:B
二、填空题:
1、 2、 3、
4、 5、
三、计算题
1、解:
所以原不等式的解集为。
2、解:
,即。
其中当且仅当,且成立,
解得,所以当时,取极大值,。
3、解:这是一个求具有约束条件的极值问题,由于它有三个变量,因而不能用消元法来解,但
,只有当时等式成立。
所以只有当时,取最小值。
四、证明题
1、证明:
,
因都是正数,上式变为,得证。
2、证明:令,
再令,得的一元二次方程:,由于,所以
,所以,即。
3、证明:因为是等差数列,则,则均值不等式,得
,
又:,,,,
所以,所以,故结论得证。
五、简述题
1、答:设函数在某区间上定义,对于区间上的任意两点,都有
,其中,则称在该区间上是下凸函数。
2、答:比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。
高等代数专题研究作业3
一、单项选择题:1-5:BDDAC
二、填空题
1、1,3,5,7 2、如果d是a与b的公因式,且有,均有。 3、代数
4、1 5、-4,2(重根)
三、计算题
1、证:1)若,则,
且,故是有单位元素1的数环,因而是整环。
2)为中全部可逆元素。为奇素)为中全部不可约元素。
2、解:是的可逆元素。
,
是的可逆元素。
因此,是的全部可逆元素。
四、证明题
1、证明:首先是整环,零理想是主理想,设是的任一非零理想,是中次数最低的多项式,则对任意有,使,其中或的次数<的次数,由知,若则的次数<的次数,这与是中次数最低的多项式矛盾,故必有,从而,这就证明了是由生成的主理想。
2、证:若之中有零或单位,易见结论