文档介绍：几何画板迭代全解 1 几何画板迭代全解佛山市南海区石门中学谢辅炬目录?迭代的基本概念以及迭代的基本操作?迭代的概念?迭代在代数、几何中的应用?画正多边形?数列的图像、前 n项和与积?迭代与分形几何?Sierpinski 三角形?Sierpinski 地毯?摇曳的 Pythagorean Tree 毕达哥拉斯树?分形树?KOCH 曲线?KOCH Snowflake 柯克雪花?数学之美?H迭代?蜂巢?其它分形欣赏?函数迭代:函数映射, M集,朱丽亚集?迭代法求方程解?MIRA ?Henon-Attractor ? Mandelbrot 集合? Julia Sets 集合?牛顿迭代法?下期预告几何画板迭代全解 2 第一章:迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能,它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义: ! ( 1)! ( 1)! ( 1) ( 2)! n n n n n n ? ??? ????。递归算法的特点是书写简单,容易理解,但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。迭代:按一定的迭代规则,从原象到初象的反复映射过程。原象:产生迭代序列的初始对象,通常称为“种子”。初象:原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。更具体一点, 在代数学中, 如计算数列 1,3,5,7,9...... 的第 n 项。我们知道 12 n n a a ?? ?,所以迭代的规则就是后一项等于前一项加 2。以1作为原像, 3 作为初像,迭代一次后得到 5 ,再迭代一次得到 7, 如此下去得到以下数值序列7,9,11,13, 15...... 如图所示。在几何学中,迭代使一组对象产生一组新的对象。中A、B、C、D、 E、F、G ,各点相距 1cm ,那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢?我们可以发现其中的规律就是从左到右,每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm 。所以我们以 A 点作为原像, B 点作为初像,迭代一次得到 B 点,二次为 C 点,以此类推。所以, 迭代像就是迭代操作产生的象的序列,而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种,一种是没有参数的迭代,另一种是带参数的迭代,我们称为深度迭代。两者没有本质的不同,但前者需要手动改变迭代的深度,后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 几何画板迭代全解 3 边形这个例子来看一下它们的区别。【例 1 】画圆的内接正 7 边形。【分析】由正 7 边形的特征,我们知道,每一个点都相当于前面的点逆时针旋转 360 7 ?,抓住这个规律,我们可以用迭代功能来解决。【步骤】 O,在圆 O上任取一点 A。 O作为旋转中心。选中 A点,单击菜单【变换】【缩放】,旋转参数选为选择固定角度,然后在框中输入 360/7 ,得到 B点。连接线段 AB。第2步第3步 A点,单击【变换】【迭代】,点击 B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正 7边形的 4条边(因为系统默认非深度迭代的迭代次数是 3 次)。【显示】按钮,选择【增加迭代】。(或者按键盘的‘+’或‘-’)。增加三次迭代后,我们可以看到一个完整的正 7边形。此时的迭代次数为 6次,正 7边形制作完成。第4步第5步【显示】按钮【最终迭代】,得到的图像仅是最后一条边。 6. 点击迭代框【结构】按钮, 我们可以设置创建的对象, 选择“仅没有点的对象”则迭几何画板迭代全解 4 代的像只有正多边形的各条边, 而没有顶点, 反之则有。选择迭代像,我们可以修改他们的属性,比如颜色和粗细等,但是细心的你会发现,线段的迭代像是不能够度量其长度的,当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标,但是我们可以得到迭代的终点,方法是选择迭代的点,然后单击【变换】【终点】,可以发现最后的那个点变成实点了,这个功能在函数映射里面会用到。上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦,而且迭代规则限定了,即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢?可以的,这就是深度迭代。【例 2 】画圆的任意 n边形【步骤】 O并在圆上任取一点 A。双击圆心 O作为旋转中心。 n=7,计算 360 n ?,注意这时要带单位‘度’。 A点,单击菜单【变换】【旋转】,出现旋转对话框,单击计算结果‘360 n ?’作为标记角度,得到 B点。连接线段 AB。第3步第4步 A和参