文档介绍：王增浩数学第五课时
导数专题
一、导数的基本应用
（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值
基本思路：定义域—疑似极值点--单调区间—极值--最值
基本方法：一般通法：利用导函数研究法
特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单 a + J a。-8 „ a —』cr —8
..x < 0 或 x > 或 0 < x <
2 2
, ? z tz — Ja~ — 8 a + Ja? —8 a - J- 8 a + Ja~ — 8
又由2厂一 ar +1 < 0得—— < t < —— ，...—— <%< ——
4 4 2 2
综上，当0 < a < f(x)在(—8,0), (0, +oo)上都是增函数；
当a〉Wf(x)在5)3^^)及(统*,+3)上都是增函数’
.a — ^la2 —8 a + ^ja2 —8 曰泯灿
在( , )是减函数.
当。=3时，由(1)知，八尤)在［1, 2］上是减函数，在［2,凌］上是增函数.
2
又 f(l) = 0,f(2) = 2_31n2v0,y(g2)= g2_ 5〉0
e
2 函数f(x)在区间［1,上的值域为［2 —31n2, e2- —-5］.
e-
点评：
第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；
第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题.
利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围
基本思路：定义域--单调区间、极值、最值--不等关系式--参数取值范围
基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等
【例题4］已知函数f^-x3 +2bx1 +cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y = 5x-10.
求函数/Xx)的解析式；
设函数g(x) = f{x) + -mx,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变
3
量x的值.
解：(I)由已知，切点为(2,0),故有/(2) = 0,即物+ c + 3 = 0 ......①
又fXx)=3x~+4bx+c,由已知/''(2) = 12 + 8力+ c = 5得85 + c + 7 = 0......②
联立①②，解得b = -l,c = /'3) = 了3—2/+工—2
(II)因为 g(x)=尸 一2工2+x-2 + ：mx 令 g'(x) = 3工2-^x + l + ^m = 0
0 1
当粤教有极值咳,.方程3工2—4尤+ 1 + 5物=△ = 4(1 —m)ZO,得m<l.
2 2
当m = 1时，g'(x) = O有实数x = j ,在x = g左右两侧均有g'(x)>0,故g(x)无极值
当秫<1时，g'(x) = O有两个实数根万=^(2-A/l-m),x2 =：(2 +Jl-m), g'(x),g(x)情况如下表:
X
(—85)
31，工2)
x2
(^2+°°)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
/
极大值
极小值
/
所以在me(Yo,l)时，函数g(x)有极值；
当x = — (2 — y/1 — m)时，g(x)有极大值；当x = — (2 + — 时，g(x)有极小值；
点评：
本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.
本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.
【例题5】 设ieR,函数/(x) = ax' - 3x2.
(I )若X = 2是函数y = /(X)的极值点，求1的值；
(II)若函数g(x) = /(%) + /\x), x g [0,2],在x = 0处取得最大值，求]的取值范围.
解.(I ) = 3or2 -6x = 3x(ax - 2)
因为x = 2是函数y = f(W的极值点，所以•f(2) = 0，即6(2a —2) = 0，因此a = i
经验证，当。=1时，》=2是函数y = f(W的极值点.
(II) 由题设 g(*)= _ 3*2 + 3dix^ _ 6x = ux^ (x+3) — 3x(^x+2)
当g(x)在区间[°，2]上的最大值为g(°)时，
g(0)^g(2)，即 o N 20a — 5
aW色
反之，当 5时，对任意xc[0,2],
6 3r 3r
g(x) W — x2(x + 3)-3x(x + 2) =—(2x2 +x-10) = 一(2%+ 5)(%-2) <
5 5 5 WO
而g(0) = o,故g(