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高三理应培优
（用均值不等式求最值的类型及解题技巧）
均值不等式是《不等式》一值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
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评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
技巧5：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
例4、若x、y，求的最小值。
解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，
则，
∵，∴，则，
即在上是减函数。
故当时，在上有最小值5。
解法二：（配方法）因，则有，
易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，
即在上是减函数，当时，在上有最小值5。
解法三：（导数法）由得，当时，，
则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法也是较为简洁实用得方法。
类型Ⅳ：条件最值问题。
例5、已知正数x、y满足，求的最小值。
技巧6：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
解法一：（利用均值不等式）,
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当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。
：（消元法）由得，由
则。
当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法三：（三角换元法）令则有
则：
，
易求得时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。
技巧8：凑系数
例6. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设，求函数的最大值。
解：∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
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类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例7、已知正数满足，试求、的范围。
解法一：由，则，
即解得，
当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。
又，
当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。
解法二：由，知，
则：，由，
则：，
当且仅当，并求得