文档介绍：定积分换元法和分部积分法
定积分换元法和分部积分法
定积分换元法和分部积分法
第五章定积分
第四讲定积分的换元法和分部积分法
教课目标１．掌握定积分的设xasint，则
a2
x2
acost，dx
acostdt，且当t
0时x
0，当t
时x
a，
2
而在
0，
上，acost
acost，于是
2
a
2
2
x2dxa22cos2tdt
a
21cos2tdt
a
0
0
2
0
定积分换元法和分部积分法
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a2
t
1sin2t
2
2

a2
4
定积分换元法和分部积分法
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2
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注应用换元公式时，求出ftt的一个原函数t后，直接将t的上、下限分别代入t中
相减就行了，而不用像计算不定积分那样再把t换成x的函数．
例2
计算
2cos5xsinxdx．
0
解析
在求解对应不定积分时，是采纳“凑”微分的方法来进行的：
cos5xsinxdx
cos5
xdcosx．
故此题可考虑设
t
cosx．
解设t
cosx，则sinxdx
dt，且当x
0时t1
，当x
时t
0，于是
2
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0
1
1
1
2
5
5
dt
t
5
t
6
cosxsinxdx
t
0
dt
0
1
6
0

．
6
定积分换元法和分部积分法
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注在例2中，我们能够不用显然地写出新变量t．但此时要注意，定积分的上、下限也不要更改．这
种记法的计算过程以下：
5
5
xdcosx
cos6x
2
1
1
2
cosxsinxdx
2cos
6
0
6
6
0
0
0
相应不定积分采纳“凑”微分方法时，该定积分平时用上述方法解较为简单．
例3
计算
sin3xsin5xdx.
0
解析第一应将被积函数化简：
sin3x
sin5x
sin3xcosx．因为在x
0，
时，cosx的符
号有变化，故需将积分区间
0，
分红两个区间：
0,
0,
,
．这样在每个小区间上cosx
2
2
就保号了．
3
3
3
解
sin3x
sin5xdx
sin2xcosxdx
2sin2
xcosxdx
sin2xcosxdx
0
0
0
2
3
3
5
2
5
2sin2
2
02sin2
xdsinx
sin2xdsinx
x
sin2x
2
5
0
5
2
2
2
4