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版高等代数北大版第9章****题参考答案
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版高等代数北大版第9章****题参考答案
第九章 欧氏空间
1. aij是一个n正定矩,而
(x1,x2, ,xn), (y1,y2d(,
)
往常为
,
的距离，证明；
d(,)
d(,)
d(,)。
证由距离的定义及三角不等式可得
d(,
)
(
)
(
)
d(
,
)
d(,
)。
4在R
4中求一单位向量与
1,1,
1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。
解
设
x1,x2,x3,x4
与三个已知向量分别正交，得方程组
x1
x2
x3
x4
0
x1
x2
x3
x4
0
，
2x1
x2
x3
3x4
0
因为方程组的系数矩阵
A的秩为
3，所以可令
x3
1
x1
4,x2
0,x4
3，即
4,0,1,
3。
再将其单位化，则
1
1
4,0,1,3，
a
26
即为所求。
5．设
1,
2,
n是欧氏空间
V的一组基，证明：
1）假如
V使
,
i
0i
1,2,
,n,，那么
0。
2）假如
1,
2
V
使对任一
V有
1,
2,
，那么
12。
证
1)因为
1,
2,
n为欧氏空间V的一组基，且对
V，有
,
i
01,2,
,n
，
所以可设
k1
1
k2
2
kn
n，
且有
,
,k11
k22
knn
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k1
,1
k2
,2
kn,n
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即证 0。
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2)由题设，对任一
V总有
11
2,
，特别对基
i也有
11i
2,i
，或许1
2,i
0i
1,2,,n
，
再由1)可得
1
20，即证
1
2。
6设 1, 2, 3 是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
1
1
2
1
2
2
3
3
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也是一组标准正交基。
证因为
1
1,2
2
122
3,21223
9
1
21,21
22,
2
3,23
9
1
4
(
2)
(2)
0，
9
同理可得
1,
3
2,
3
0，
另一方面
,1
1
22
3,21
22
1