文档介绍：他方差、协方差与相关系数
方差
例1比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为：
<789)<678910]
.)展<./.
问哪一个技术较好？
首先看两人平均击中环数，此时E而E(&c)2=E-2-2cE-+c2,
E-的离散
两边相减得Va「-一E(-一c)二一(E--c)<.
nn
VarrJ、Vari'、E(i-E<)(<-E<)
性质4i4=i4+2il：：Bn(6)
特别若"I'lll，-n两两独立，则
nn
Var(.二-i)、Variy=y.(7)
nnnn
Vi)vi'i)、2(X(i-Ei))2
证Var(im=E(i^-E()=Eim
n
C(i-Ei)22-(i-Ei)(j-Ej))
=Ei注1_i：：J_n
n
'、Vari、E(i-Ei)(\-E\)
=id：+21<<<,
得证(6)"H「n两两独立时，对任何1Wi,jWn有E^j=E'E'j,故
E(i-Ei)(j-Ej)=E(ij-iEj-jEiEiEj)
_EE
=EijEiEj=0,
这就得证(7)式成立.
利用这些性质，可简化某些随机变量方差的计算^
例5设E服从二项分布B(n,p),求Var：.
解如§1例12构造-i,i二：JII，n,它们相互独立同分布，此时
Va「O=E。2—(E^)2=12，p+02，q_p2邛q.
由于相互独立必是两两独立的，由性质4
nn
Var=Va「（」二：了「1.
设随机变量:'111,＜相互独立同分布，E±i=a,var＜=。2
1n
,求E'VarE
.…・一'i
（imiE）.记-=ny
解由§1性质2和本节性质
1n
Ely
Ei
二a,
1n
Var)〔Vari
1
=-n^
n
这说明在独立同分布时,
1作为各1的算术平均，它的数学期望与各占的数学期望相同,
但方差只有r的1/
例7设随机变量E的期望与方差都存在，Var上＞
*=-E
Var
,
：与Var：
解由均值与方差的性质可知
Var
Var(-E)
Var
Var
Var
,除去各分量的期
望和方差外，还有表示各分量间相互关系的数字特征一协方差.
定义2记-i和j的联合分布函数为Fij（X，V）.
e(i-ei)(<.e<)-EE(x-Ei)(y-Ej)dFij(x，y)(8
芦芦声芦
为r,j的协方差(covariance),记作Cov(-i,-j),
显然，Cov(-i，-j)=Var；.公式(6)可改写为nn
'、i'、Vari、'Cov(i,\)
Var(y)=0+21攵*.(6)
容易验证，协方差有如下性质：
性质1Cov(')=Cov(,j=E-EE.
性质2设a,b是常数，则
Cov(a,b)=abCov(,)
性质3
Cov('i,)='“Cov(i,)
,hh…h、
b11b12b1n
b21b22b2n
■■AA■■■■,■■,«A■A
B=E(「EM-E：)'=
&bn2…bnn；
对于n维随机向量E=(：1MI/n)［可写出它的协方差阵
(9)
其中bj=Cov(i,j)
由性质1可知B是一个对称阵，且对任何实数tj,j=1JII,n,二次型
nnn
'、bjktjtk="tjtkE(j-Ej)(；-E；)=E「tj(j-Ej))2-0
j,k1j,kmjW
即随机向量E的协方差阵B是非负定的.
C1n
Cmnt
性质4设
/i」H,J
则C：的协方差阵为CBC',其中B是E的协方差阵
因为EC久Ct)'=ECb'C'=CE笠'C',所以CBC的第0,j)元素就是C：的第第j元素的协方差.
协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的关系，但Cov(-'n)的取值大小与
，用的标准化随机变量(见例7)来讨论.
定义3称
_E(-E)(-E)r=Cov(,)"var^Var^
为E,"的相关系数(correlationcoefficient).
为了讨论相关系数的意义，先看一个重要的不等式^
柯西-许瓦茨(Cauchy—Schwarz)不等式对任意随机变量已“有
E^|2MEZ2EM.
等式成立当且仅当存在常数t0使
P=t。=1
.
证对任意实数t
u(t)=E(t-)2=t2E