文档介绍：第七章随机规划
8
12
1
第六章随机规划
第一节问题的提出
随机规划所研究的对象是含有随机因素的数学规划问题。例如，我们熟悉的线性规划问题
minf(X)=CX
)
AX=b
X>0
如果。于是，上述系数均
i
可视为随机变量，记为a(w)，c(w)，b(w)，weQ(i=1,...,m;j=1,...,n)。
ijji
为了合理安排生产，显然希望知道，在各种可能的情况下，maxf(X)的值是什么，也即希望知道maxf(X)的分布如何，或者希望知道maxf(X)的数学期望是多少。
第七章随机规划
4
12
1
也就是说，对于每个样本WeQ求解一个线性规划问题
max/(X)=£c(w)x
jj
J=1
乞a(w)x=B(w),I=1,・・・,m
6・8)
ijji，
j=1
X>0,J=1,・・・,N
j
然后再求max/(X)的分布。这就是本节将要讨论的分部问题。
般地，所谓分布问题就是对于每个样本weQ求解一个线性规划问题
g(w)=minC(w)X
A(w)X=b(w)，(6・9)
X>0
并求g(w)的分布函数或其他概率特征。
上述问题中，A(w)为随机矩阵，B(w)和c(w)分别随机向量。显然为使上述分布问题在数学上有意义，首先要求g(w)必须是一个随机变量，即g(w)是概率空间(Q,p,p)上的Borel可测函数。对此有如下定理。
定理1在上述分部问题中，最优目标函数值g(w)是一个随机变量，并且适当选择后可以找到该问题的一个最优解x*(w)为随机向量。
随着w的变化，问题()的最优目标函数值g(w)可能有限，也可能为无穷大。如果g(w)取+活7的概率大于0,则g(w)的数学期望及其它概率特征均不存在，从而该问题在许多情况下将无实际意义。因此，我们感兴趣的是：P(w:—s<g(w)<+Q=1的情况，此时问题的最优值称为无缺陷的分布。
对于分部问题可以像对待普通线性规划那样按照参数规划的思路来讨论和求解，比如单纯形法、灵敏度分析等。
第三节期望值模型
在期望约束下，使得目标函数的期望值达到最优的数学规划称为期望值模型。期望值模型是数学规划中常见的形式之一，如期望费用极小化，期望值模型极大化问题等等。
第七章随机规划
6
12
1
首先考虑报童问题。报童需要每天提前到邮局定购报纸并确定所定购的报纸数量X分，每份价格为c元。已经知道每份报纸的售价为a元。如果报童没有卖完当天的报纸，则回收中心以极低的价格b元回收报纸。假设每天报纸的需求量为g，若x空，则每天报纸的剩余量为x-g，否则为0。这样报童的受益为
f(x,g)=[(a-c)x'x-g，()
[(b-c)x+(a-b)g,x>g
在实际问题中，报童的需求量g通常是随机变量，从而导致效益函数f(x,g)也是随机变量。既然不能准确地预测出订购x份报纸的实际收益，一个自然的方法就是考虑期望收益
E[f(x,g)]=f[(b-c)x+(a-b)g他(g)dg+f(a-c)xQ(g)dg,(6-11)
0x
其中E表示期望值算子，Q(g)表示需求量g的概率密度函数。报童问题就是寻找最优的定购数量x使期望收益E[f(x,g)]达到最大值，这是一个典型的期望值模型。
一、期望算子
假设t维随机向量g的概率密度函数为Q(g)，则随机向量g的期望值定义为
E[g]=\gQ(g)dg，(6J2)
Rt
通常也称其为均值
设f为定义在Rt上的实函数，则f(g)是一个随机变量，其期望值E(f(g))可以通过下式来计算：
E[f(g)]=ff(g)Q(g)dg，(6J3)
第七章随机规划
6
12
1
期望值算子有如下的基本性质：若耳=ag+b，其中a和b是常数，则
Eg]=aE[g]+b，()
更一般的情况，设g总，…,g是n个随机变量，且期望值E匡](i=1,2,...,n)存
12ni
在，则有
E[g+g+...+g]二E[g]+E[g]+...+E[g]，()
12n12n
设g,g,...,g是n个相互独立的随机变量，且期望值E[g](i=1,2,...,n)
12ni
存在，则有
E[...g]二E[g].E[g]...E[g]，()
12n12n
二、期望值模型
单目标期望值模型的一般形式为
'maxE[f(X,g)]
<，()
E[片(X,g)]<0,j=1,2,...,p
E[h(X,g)]=0,k=1,2,…,q
k
其中X是一个n维决策向量，g是一个t维随机向量，其概率密度函数为©(