文档介绍：二重积分一、二重积分的概念和性质二、二重积分的计算三、无界区域上的反常二重积分 2017-5-13 1 经济数学《微积分》下 cyx-ljy 一、二重积分的概念和性质曲顶柱体的定义. ),( ,),(, , ,Dyxf yxfz Oz DD xOy ??x z o),(yxfz?yD 体积= 平顶柱体的体积公式底面积×高 2017-5-13 2 经济数学《微积分》下 cyx-ljy 个小区域: 任意划分成将区域 nD)1(.),,2,1(,,, 21ni i????????? i??x yO . ),,2,1( 区域的面积个小表示第 ini i????可以近似地表示为个小曲顶柱体的体积第 iVi?)2(ni yxfV iiii,,2,1 ,),(?????? x zy oi??),( iiyx iV? 2017-5-13 3 经济数学《微积分》下 cyx-ljy???? ni iVV 1)3(为曲顶柱体体积的近似值 n ni iiiVyxf?????1),(?曲顶柱体体积为)4(.),( lim 1 0????? ni iiidyxf?基本思想: 分割、近似、求和、取极限.????? ni iiidyxfV 1 0),( lim ? ndVV 0 lim ?? x zy o 2017-5-13 4 经济数学《微积分》下 cyx-ljy 定义 ?????????????? D ni iiid ii in ii nyxf Dyxf yxf dniyx dddd id nD D yxf???????d),(, ),(, ),( lim ,0.,,2,1,),( .},,,{ max , ,,,,, ),( 1 0 21 21 记为积分上的二重在区域则称此极限为函数存在如果极限时当点上任取一在每个小区域个小区域的面积和直径分别表示第和并以个小区域任意划分为将上定义在有界闭区域设二元函数??? i ni iidDyxfyxf?????????1 0),( lim d),(即 2017-5-13 5 经济数学《微积分》下 cyx-ljy,),( 称为被积函数 yxf.),( 1 称为积分和??? ni iiiyxf?,, 称为积分变量 yx,d),( 称为被积表达式?yxf,d 称为面积元素?.),(, 上可积在区域并称为积分区域其中 DyxfD 积分区域积分区域积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素.),( lim d),( 1 0 i ni iidDyxfyxf????????? 2017-5-13 6 经济数学《微积分》下 cyx-ljy 对定义的几点说明: ;),( d),()1( 的取法无关式及点的分割方与积分区域二重积分 ii Dyx Dyxf???即示无关而与积分变量用字母表和被积函数有关域只与积分区是一个数值二重积分,, ,d),()2(D yxf D?????????? D Dvufyxfd),(d),(. d),(,0),(,),()3( 表示曲顶柱体的体积时且连续当???? Dyxfyxfyxf (二重积分的几何意义) 2017-5-13 7 经济数学《微积分》下 cyx-ljy. ,),()2( 上可积在则它上连续在有界闭区域若函数 D Dyxfz?:,),( 有以下结论成立的可积性关于二元函数 yxf; ),(,),()1( 上有界在则上可积在有界闭区域若D yxfDyxf,dddyx??素在直角坐标系中面积元 x y O D D 此时二重积分为????? D Dyxyxfyxfdd),(d),(? 2017-5-13 8 经济数学《微积分》下 cyx-ljy 性质 ????? Dyx Ddd ,则的面积为若区域上可积且在对任何常数则上可积在有界闭区域设Dyxgyxf Dyxgyxf),(),(,, ,),(,),(??????? yxyxgyxyxfyxyxgyxf D DDdd),(dd),(dd),(),( ?????????????性质 ???????? 2 1dd),(dd),(dd),( D DDyxyxfyxyxfyxyxf 性质 , ,),( 21DDD Dyxf?? 2017-5-13 9 经济数学《微积分》下 cyx-ljy 性质 ??????? D Dyxyxgyxyxf Dyxyxgyxf Dyxgyxfdd),(dd),( ),(,),(),( ,),(,),(则且上可积在有界闭区域设推论 Dyxf???),(,)0),(