文档介绍：-
. z.
§ 曲线的切向量、切线和法面、密切平面
假设中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。
切向量的定义及求法
z
对曲线进展研究，从曲线的割线及割线的极限入的一个奇点，其它点为正则点。
由，
得，
在处不可导。
画出曲线图象。
例 曲线，
，
，
，
当时，
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有，
均为曲线的奇点，其它点为正则点
画出曲线图形。
注：，是奇点，
，不是奇点，
表示同一条曲线，原因是变换不是正则的。
定义 如果曲线全由正则点组成，则称这条曲线是一条正则曲线。
设曲线，，如果切向量的三个分量都是上的连续函数，并且，则称曲线是一条光滑曲线。
设曲线〔
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〕，
如果在上连续，
并且，则称曲线是一条光滑曲线。
如果曲线表示式
〔〕中的函数是阶连续可微的函数，则把这曲线称为类曲线。
记号，，等的涵义。
例如：圆柱螺线
是一条光滑曲线，且是类曲线〔任意正整数〕。〔这种曲线，也称为无穷次光滑曲线。〕
分段光滑的曲线概念。分段光滑的曲线的图例，出现被使用的场合。
例1 . 求曲线在点处的切线和法平面方程.
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解 因及点对应参数
所以曲线在点M处的切向量为
于是所求的切线方程为；
法平面方程为
即
例2 、求曲线
上平行于直线的切线方程.
解 直线的方向向量
由于曲线的切向量
平行于向量
所以
解得 切点坐标为
切向量为
所以切线方程为
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即
例3. 设曲线
在任一点的法平面都过原点,
证明此曲线必在以原点为球心的*个球面上.
解 任取曲线上一点
曲线过该点的法平面方程为:
由于法平面过原点，得
于是 ，
即曲线在球面上.
例4 .设参数曲线段，它的分量和在上连续，在可导，并且对，有，我们称由与两点决定的直线段为这条参数曲线段的弦.
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求证：曲线上至少有一点使得曲线在这点上的切线与弦平行.
证: 由柯西中值定理,
存在,使得,
弦的斜率为,
曲线上点处的切线斜率为, 两者相等,
故弦线与点处的切线平行, 结果得证.
五、空间曲线的密切平面
经过上面的讨论， 我们知道，在类曲线的正常点处，总存在一条切线，它是最贴近曲线的直线。
下面我们将指出，对于一条类空间曲线而言，过曲线上一点有无数多个切平面，其中有一个最贴近曲线的切平面，它在讨论曲线的性质时起很重要的作用。
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定义1 过空间曲线上点的切线和点邻近一点可作一平面，
当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。
现在我们找出密切平面的方程。
给出类的空间曲线
： 。
设曲线上的和点分别对应参数和。
根据泰勒公式，有
，
其中，
。
因为向量和都在平面上，所以它们的线性组合
也在平面上。
当点沿着曲线趋于时，，
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这时不动，但，
这个线性组合向量就趋于，
所以平面的极限位置是向量和所确定的平面。
也就是说，如果和不平行，即，
这两个向量及点就完全确定了曲线在点的密切平面。
根据以上的讨论，曲线在点的密切平面的方程是
，
其中表示点的密切平面上任意一点的向径。
上式也可以用行列式表示为
。
定义2 给出类的空间曲线
： 。
设曲线上的和点分别对应参数
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和。
过点作由成的切平面，
当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。
现在我们找出密切平面的方程。
的方程为
，
其法方向为，
，
当点沿着曲线趋于时，，
，
平面的法向量的极限为
，就是的法方向，
故曲线在点的密切平面的方程是
，
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其中表示点的密切平面上任意一点的向径。
密切平面的几何意义：
设曲线上的和点分别对应参数和。
过点作一平面，
考察点到平面的距离的接近情况，
设为平面的单位法向量，
由作平