文档介绍：网站: : http://bbs. 版权所有@中报教育网立体几何解题技巧例说安徽李庆社(一) 有关点共线、点共面、面共线问题【例 1】已知 D、E、F分别是三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC上的点,且直线 FD 与CA交于 M,FE与CB交于 N,DE与AB交于 P,求证: M、N、P三点必共线. 点拨:证明若干个点共线的重要方法之一,是证明这些点分别是某两个平面的公共点. 证明:由已知,显然 M、N、P在由 D、E、F所在的平面,又M、N、P分别在直线 CA、 CB和AB上,故M、N、P必然在 A、B、C所在的平面内,即M、N、P是平面 DEF 与平面 ABC 的公共点, ∴它们必在这两个平面的交线上,故 M、N、P三点共线. 点评:证明点共面、线共面的基本途径是先由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面,再证明其余元素在该平面内. (二) 有关空间角问题【例 2】在棱长都相等的四面体 ABCD 中, E、F分别为棱 BC和AD的中点(如下图). (1) 求AE与CF所成的角; (2) 求CF与面 BCD 所成的角. 点拨: (1) 欲求两条异面直线所成的角,需将其中一条平移到与另一条相交的位置,而平移时,常在某一平面内进行. (2) 欲求直线与平面所成的角,需过该直线上的某一点(异于与平面的交点)作该平面的垂线. 通常是在与该平面垂直的平面内作出这条垂线,而后便可作出线面角. 解:(1) 在平面 AED 内,过F作FK∥AE,交ED于K,则∠CFK 是异面直线 AE与CK所成角(或是其补角).该棱长为 a,通过计算,可得,, ,由余弦定理∠·· ,∴∠,即异面直线与所成的角为. FK = 12 AE = 34 a CF = 32 a CK = 74 a cos CFK = = 23 CFK = os 23 AE CF os 23 CF FK CK CF FK 2222 ??(2) ∵各棱长均相等, E为BC中点, ∴BC⊥AE,BC⊥DE ∴BC⊥面AED ∴面AED ⊥面ABC ,过 F作FH⊥ED于H,则 FH⊥面BCD , ∴∠ FCH 是CF与面 BCD 所成的角. FH AO FH = 66 a sin FCH = FH CF = 23 是四面体的高的一半,∴∴∠, ∴∠故与面所成的角为. FCH = arcsin 23 CF ABC arcsin 23 网站: : http://bbs. 版权所有@中报教育网【例 3】已知 D、E分别是正三棱柱 ABC -A1 B1 C1 的侧棱 AA1 和BB1 上的点, 且 A1 D=2B 1 E=B 1 C1 (如图)求过 D、E、C1 的平面与棱柱的下底面 A1 B1 C1 所成二面角的大小. 点拨:在图上,过D、E、C1 的面与棱柱底面只给出一个公共点 C1 ,而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱,因此还需找出它与底面的另一个公共点,进而再求二面角的大小. 解:在平面 AA1 B1 B内延长 DE和A1 B1 交于 F,则F是面 DEC 1 与面 A1 B1 C1 的公共点, C1 F为这两个平面的交线,所求的二面角就是 D-C1 F-A1 的平面角. ∵A1 D∥B1 E,且 A1 D=2B 1 E. ∴E、B1 分别为 DF和A1 F的中点,