文档介绍：第二单元
函数、导数及其应用
第十三节 导数的应用(2)
考点一 利用导数求函数的最值
【例1】 已知函数f(x)＝x2ex，求函数在[－1,1]上的最值．
解 ∵f(x)＝x2ex，
∴f′(x)＝2xe第二单元
函数、导数及其应用
第十三节 导数的应用(2)
考点一 利用导数求函数的最值
【例1】 已知函数f(x)＝x2ex，求函数在[－1,1]上的最值．
解 ∵f(x)＝x2ex，
∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(2x＋x2)．
令f′(x)＝0，∴x＝0或x＝－2(舍去)．
∵f(0)＝0，f(－1)＝e－1＝，f(1)＝e，
∴f(x)max＝f(1)＝e，f(x)min＝f(0)＝0.
典例分析
点拨：
求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值，最小者为最小值.
点拨：
研究含参数的最值问题时，求导后往往转化为含有参数的不等式问题，解含参数的不等式常通过讨论来完成.
点拨：
采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，(x)＞g(x),x∈(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)＞\[f(x)-g(x)\]′＞0，说明函数f(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)≥0,由增函数的定义可知，当x∈(a,b)时，f(x)-g(x)＞0，即f(x)＞g(x).
考点四 导数在实际问题中的应用
【例4】 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每年每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：
L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
点拨：
在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先根据题意建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数最值的方法求解，（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
高考体验
从近两年课改区的高考试题来看，本部分的考查以解答题为主，属于中高档题．预测2013年高考中求函数的最值或含参数的最值问题以及不等式的证明仍为考查的重点.
1. 设f(x)＝x·sin x，x∈[a，b]，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的极值点一定是最值点 B. f(x)的最值点一定是极值点
C. f(x)在[a，b]内可能没有极值点 D. f(x)在[a，b]内可能没有最值点
解析：利用极值的定义知选C.
答案：C
2. 函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值是( )
A. 5 B. 4 C. －4 D. －5
解析：f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2，
∵x∈[0,3]，∴易知x＝2为极值点．
∵当x∈[0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3]时，f′(x)＞0.
∴当x＝2时，f(x)取得极小值，且易知也为最小值．
故最大值只可能是f(0)或f(3)，又f(0)＝5，f(3)＝－4，
∴f(x)在[0,3]上的最大值为5.
答案：A
练习巩固
3. 已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为( )
A. 36 B. 18 C. 25 D. 42
解析：∵x≥0，y≥0，x＋3y＝9，
∴x2y＝x2＝－x3＋3x2，
∴(x2y)′＝6x－x2，x∈[0,9]．
令(x2y)′＝0，则x＝0或x＝6，
当x＝0时，x2y＝0；
当x＝6时，y＝1，x2y＝36；
当x＝9时，y＝0，x2y＝0.
故(x2y)max＝36，故选A.
答案：A
答案：[4，＋∞)
5. 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________cm.
解析：设截去的正方形的边长为x cm，则铁盒的边长分别为48－2x,48－2x，故容积为V＝x(48－2x)(48－2x)
＝4x(24－x)(24－x)(0<x<24)，
∴V′＝12(x2－32x＋24×8)