文档介绍：泛函分析单元知识总结与知识应用
数学与计算科学学院数学与应用数学
、单元知识总结
第七章、度量空间和赋范线性空间
§度量空间
§：若X是一个非空集合，d :X
X R是满足下面条件的实值函数，
x,d)中收敛，那么称(" 是完备的度量空间。
例：1、C[a，b]是完备度量空间
2、 1 2是完备度量空间
3、 Rn是完备的度量空间
注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列
3、实系数多项式全体P[a，b], P[a,b]作为C[a，b]的子空间不是完备
度量空间
§ 闭子空间。(即完备性关于闭子空间具有可遗传性)
§5度量空间的完备化
§ (度量空间的完备化定理)设X (X,d)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X (X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与X的某个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。
定理1设X (X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间
X (X,d)，使X%X的稠密子空间。
§6压缩映射原理及其应用
§ 定义：设X是度量空间，T是x到x中的映射，如果，0 L
x,y X，d (Tx,Ty) d (x, y)，则称 T 是压缩映射。
§ 定理1 (压缩映射定理)设X是完备的度量空间，丁是乂上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点(就是说，方程Tx x，有且只有一个解)。
定理2 (隐函数存在定理)设函数f (x,y) 在带状域a x b，
y中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy, (x，y)。如果常数m和1^，满足
0 m fy(x,y) M ,m M，则方程f(x,y) 0在区间[a,b]上必有唯一的
连续函数y (x)作为解：f(X，
(x)) 0,x [a，b]
§7线性空间
§：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数(或复数) 与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：（1）交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X , 均有1x X，满足这样性质的集合X称为线性空间。
例：1、日勺安自身定义的加法和数乘成线性空间
2、 C［a，b］按自身定义的加法和数乘成线性空间
3、空间"（p 0）按自身定义的加法和数乘成线性空间
§8赋范线性空间和巴拿赫空间
§：设x是实（或复）的线性空间，如果对X X，都有确定的一个实数，记为*与之对应，并且满足：
1°||x °,且||x °等价于x 0；（非负性）
2° 11 x|1 1 |||x|1其中为任意实（复）数；
3o||x y ||x|| ||y||，x，y X,（三角不等式）则称IIx 为向量X的范数，称X按范数11 X 成为赋范线性空间
注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间
2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间
3、 ||x|〔是，的连续函数
§：1、完备的