文档介绍：混合策略纳什均衡
本章介绍各种混合策略纳什均衡的博弈。许多这类的问题需要读者去解决。有些混合策略的纳什均衡是显而易见的，如：投掷硬币（）。另一些就不那么直观了，如鹰鸽均衡（），但均衡可行性取决于问题的参数。例如，在将从反手那边还是正手那边过
来。接受者将更有可能准确地回球。另一方面，发球者
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反手发球比正手发球更厉害。因而，接受者正确的预计反手发球的概率是60%, 正确的预计正手发球的概率是90%。如果接受者错误的估计为正手发球，将得到回报为20%的时间，如果接受者错误的估计为反手发球，将得到回报为30%的时间。博弈的标准式如图所示，找出博弈的纳什均衡。

三家公司（1，2, 3）使用湖水用于生产。每个公司都有两个纯策略：（策略
1）净化污水或转移污水到湖里（策略2）。我们假设，如果零或一家公司转移其污水入湖，水仍然是纯净的，但如果两个或两个以上的企业，水是不纯的，每个企业都遭受的损失为3。净化的成本为1。
我们将展示纳什均衡是：（a）一家公司总是污染水，另两家总是净化，（b）所有的公司都污染，（c）每一家公司污染的概率I小一、圣.（d）每一家公司
净化的概率是:i3 -.或者（e）一家公司净化，另两家公司污染的概率为
2/3。
情况（a）和（b），的纯策略很显著。对于（c）和
（d）的完全混合策略均
如果公司3净化，它的
3（1-x）（1-y）。因为公司 3
衡，假定x，y，z是三家公司净化的概率，x，y，z>0。
支付为-xy-x（ 1-y）-y（ 1-x）-4（1-x）（1-y）。
如果公司3污染，它的支付为-3x（1-y）-3y（ 1-x）
采用混合策略，因此这两个支付要相等，经过简化后，我们得出（1-3x）（1-3y） =3xy。另外两家公司也同样，我们得到两个理想的答案。（。）情形，假定其中一家公司净化的概率是1，然后找出其他公司的完全混合策略。

一位母亲想要从财政上帮她的失业儿子，但她并不想增加他的苦恼，因此，在他儿子还没找到工作期间，她宣布她可以帮助她的儿子。但是他儿子之所以找工作是因为不想依靠他母亲的支持，即使他在找工作，但是他可能找不到工作。支付矩阵如下所示。从图中可以看出，没有纯策略纳什均衡。
寻找唯一的混合策略均衡。

三家企业（博弈方1，2, 3）在市场上投放三个项目，这些产品可以在早上或晚上的电视做广告。一家企业每天做一次广告。如果在同一时间超过一家企业做广告，他们的利润是0。如果只有一个企业在早上做广告，它的利润是1，如果一个企业在晚上做广告，其利润2。企业必须同时做出他们每天的广告的决定。
有一个均衡是，在其中一个企业总是选择上午做广告，另一个总是选择晚上做广告，第三家企业以任何概率选择早上。此外，这些是唯一的纳什均衡，其中至少有一个企业使用一个纯策略。看到这一点，首先，假设企业1选择纯策略M (上午)。如果企业2和3选择混合策略，然后其中一人能够获得好处通过转移到纯策略E (晚上)。看到这一点，让这个混合策略为：企业2是a M+(1-a) E,企业3是6 M(1书)E。当三家企业的