文档介绍：几种求极限方法的总结
摘要 极限是数学分析中的重要概念，
n 的学****和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.
关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 —
x 2 x
tan x
tan3x
例 8 ：求极限 lim
nTg
x2
X1 + x sin x - i cos x
x2
V1 + x sin x -、cos x
中分子为x2,
・•・将各函数展开到含x 2项。
1-
1
x c 2=o x s 2+ x
2
0x 2 (=从 x
x,
例 7 求极限 lim
xT
2
tan x
解 lim = 企 tan 3x xT
2
(tan x), (cos 3x) 3 - 6 cos 3x sin 3x sin6x 6cos6x - 6
lim = lim = lim = lim = lim = = 3
工(tan 3x), 工 3(cos x)2 工 -6 cos x sin x 工 sin 2x 九 2 cos 2x - 2
xT xT xT x T x T
2 2 2 2 2
7利用泰勒公式求极限b ]
( i 1 1
COS X = 1 — (1 — COS x) = ：1 — — X2 + 0(X2 ) =1 + —
^2 ^2
. I 1
X1 + Xsin X = 丫'1 + X2 + 0(X2)= 1 + — X2 + 0(X2)
・原式=lim
1
「 1 1
1 + — X2 + 0( X2)—
2
1 — — X2 + 0( X2) _ 4 _
x2
8利用数列求和来求极限b ]
=lim -
3
n» _ x2
4
有时做一些求极限的题时,若对原函数先做一些变形 限过程简便些。
13
例9：求极限lim(- + 一 + _ + n* 2 22
3 2n 一1
= + + +
22
2n 一-). b]
2n
解：令s
2n
则—sn
2n 一 1
+ 0( X 2) + 0( X 2) =1—丄 X 2 + 0( X 2)
4
x2
+ 0( x 2)
化简之后再利用极限性质去求极
1 3 5
= + + +...
22 23 24
2n 一 1
2 n+l
1 1 1 1
= + — + + + ——
2 2 22 2n-1 2 n+1
1一
11 =+ * —
2 2 4 1
1 一 一
2
2n 一1,从而
2n+1
n-1
1一
^^二1 ,・•・原式二lim|l +
2n
ns
2n
9用定积分求和式的极限b ]
nT8
例10设函数f(x )在10,1]上连续，且f(x) A 0，求lim ^f (丄” (2) _f ( n n
解令「豊讣G"耳…f弓)f(-)于是
f(丄” (2).. f (L)f (n)
n n n n
lnT= -ln
n
1 2 n -
ln f (—) + ln f (二)+ …+ ln f (-)
n n) n _
而 limln T = lim 工 ln f (—).