文档介绍：
第一页，共21页。
称
为 X ,Y 的协方差. 记为
特别地,cov(X,X)=D(X), cov(Y,Y)=D(Y), 所以方差是协方差的特例.
协方差和相关系数的定义
定义
第一页，共21页。
称
为 X ,Y 的协方差. 记为
特别地,cov(X,X)=D(X), cov(Y,Y)=D(Y), 所以方差是协方差的特例.
协方差和相关系数的定义
定义
定义
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第二页，共21页。
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
为X ,Y 的 相关系数，记为
若
称 X ,Y 不相关.
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第三页，共21页。
协方差的性质
协方差和相关系数的性质
性质
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第四页，共21页。
协方差和相关系数的计算
一般地，
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第五页，共21页。
若 ( X ,Y ) 为离散型，
若 ( X ,Y ) 为连续型，
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第六页，共21页。
相关系数的性质
系性质
如果 X,Y 相互独立，则
从而
若随机变量X与Y的相关系数
则称X与Y不相关.
X与Y相互独立
X与Y不相关
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第七页，共21页。
例 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而Y=cos X,
因而 =0，
即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
不难求得，
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，
E(X)=0,
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第八页，共21页。
X , Y 不相关
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第九页，共21页。
Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为
a,b 为常数.
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第十页，共21页。
设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY
例
若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ),
则X ,Y 相互独立
X ,Y 不相关
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第十一页，共21页。
求 cov (X ,Y ), XY
1 0
p q
X
P
1 0
p q
Y
P
例1 已知 X ,Y 的联合分布为
X
Y
pij
1 0
1
0
p 0
0 q
0 < p <1
p + q = 1
解
1 0
p q
X Y
P
例1
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第十二页，共21页。
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第十三页，共21页。
例2 设( X,Y )的联合密度函数为
求 E(X), E(Y), D(X), D(Y) , cov (X ,Y ), XY
D(5X-3Y)
解
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第十四页，共21页。
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第十五页，共21页。
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第十六页，共21页。
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第十七页，共21页。
例3 设 X 的密度函数为
(1) 求 E( X ), D( X )
(2) 求 X与 的协方差和相关系数，并
确定X与 是否相关.
(3) 判定 X与 是否独立.
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第十八页，共21页。
解 (1)
(2)
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第十九页，共21页。
所以二者不相关
(3) 对任意给定的常数a >0，显然
因此
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第二十页，共21页。
谢谢！
第二十一页，共21页。