文档介绍：大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
数列函数：
类型：
⑴数列：*。” = /(«); * an+l = /(«„)
初等函数：
分段函数：*F(x) = ["'),'5°; *尸3) = ['3),启气*
(含斜)：
(x\
o = lim ——,/? = lim[/(x)-ax] n f (x) ax+b + a
X—>CO X x—>co
/(x) = + + ,( — ^0)
x
连续性：(1)间断点判别(个数)；(2)分段函数连续性(附:极限函数，尸⑴连续性)
[。,切上连续函数性质
连通性：/（［«,/?］） = ［m,M］（注：\/0＜人＜1,“平均"值：4f（o） + （l-/l）f（b） = /（.x0））
介值定理:（附:达布定理）
（1）零点存在定理：/（a）/0）＜O^ /（.x0） = 0（根的个数）；
⑵/（x） = 0 n （「f（x）dx）' = O.
第二讲'：导数及应用（一元）（含中值定理）
基本概念：
差商与导数：广（X）= lim *）-；广（吒）=lim/⑴-'（0
XTO X XTX。 X-Xq
（1） 广（0） = limf（" f（°）（注:lim墅=A（f 连续）n f（0） = 0,广（0） = A）
XT。 JQ XT。 X
（2） 左右导：Z（x0）, £（易）；
⑶可导与连续；（在x = 0处，|』连续不可导；工国可导）
微分与导数：x） - f（x） = f \x） x + o（ df = f \x）dx
（1）可微O可导；（2）比较颂,甫与"0"的大小比较（图示）；
求导准备：
基本初等函数求导公式；（注：（|/（x）|）'）
dx 1
法则：⑴四则运算；（2）复合法则；（3）反函数—=—
dy y'
各类求导（方法步骤）：
定义导：（1）厂（。）与f'3）L=.; （2）分段函数左右导；（3）腮似-」）
（注：/（x）= F（%）,启气求:广（x°）,广⑴及广⑴的连续性）
a x = x0
初等导（公式加法则）：
（1） « =舟g3）］,求:"'（易）（图形题）;
/•x px pb pb
（2） f（x）= fQW,求:矿⑴（注：（［fMdty, （f fMdty, （f f（t）dt）‘）
J a J a J a J a
（3） y= t"，求 Z（x0），Z（x0）及广（X。）（待定系数）
隐式（f（X, y） =0）导:-y-, —y-
dx ax"
（1） 存在定理；
（2） 微分法（一阶微分的形式不变性）.
（3） 对数求导法.
参式导（数-，二）：［5）,求:半,整
y — y（l） ax ax
高阶导/（M）（x）公式：
1 、s) b"n\
) = .
a-bx (a-bx)n+i ,
（sin qx）（〃）= an sin（ax ■一 xn）; （cos axYn） = an cos（ax ■一 xn） 2 2
（必）（〃）="（〃）y + cyn~2）vn+
注：/（n）（0）与泰勒展式：= %+。］工+。20 + +。/〃+ n%= ——
n!
各类应用： •
斜率与切线（法线）；（区别：y = /（X）上点Mo和过点Mo的切线）
物理:（相对）变化率-速度；
边际与弹性(数三)：(附：需求，收益，成本，利润)
单调性与极值(必求导)
判别(驻点广3。)= 0)：
⑴广(x)20nf(x)；广⑴MOnf(x);
分段函数的单调性
f '(X)> 0 n零点唯一；f ”(x)〉0 n驻点唯一(必为极值，最值).
极值点：
表格(广⑴变号)；(由lim 四电丰0,lim 旱只丰0, lim 皇打尹0 n x = 0的特点)
XTXo X x^x0 \x\ XTR X
二阶导(广(与)=0)
注⑴/■与广，广'的匹配(广图形中包含的信息)；
实例:由f \x) + A,(x)f(x) = g(x)确定点“x =玉/'的特点.
闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合，求最优)
不等式证明(/(X)>0)
区另U： *单变量与双变量？ * x e [a,/?] x e [a,-Ho), x e (-ao,-ho) ?
类型：*/'>o,/(«)>o； */'<o,/(Z7)>o
*/"<0, /(«), f(b) >0; */"(-X)>o,/u)= 0, 了(X。) > o
注意：单调性&端点值㊉极值①凹凸性.(如：f(x)<M =
函数的零点个数:单调©介值
凹凸与拐点(必求导!)：
表格;(〃顷0)= 0)
应用：(1)泰勒估计；(2)y‘单调；(3)