文档介绍：矩阵的特征值与矩阵的相似对角化
第一页，共21页。
二. 矩阵相似对角形
对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，
使得 为对角阵，就称为把方阵 对矩阵的特征值与矩阵的相似对角化
第一页，共21页。
二. 矩阵相似对角形
对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，
使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
定义:
定理2： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）
有 个线性无关的特征向量。
(逆命题不成立)
推论1 :若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,
则 可对角化。（与对角阵相似）
说明：如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性
无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化．
第二页，共21页。
推论2: 阶方阵 相似于对角阵的充要条件是 的
每一个
重特征值对应 个线性无关的特征向量．
第三页，共21页。
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 的特征值是
相应的特征向量是
求矩阵
第四页，共21页。
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。
即存在可逆矩阵 , 使得
其中
求得
第五页，共21页。
第六页，共21页。
2. 求方阵的幂
例4：设 求
解：
可以对角化。
齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
第七页，共21页。
齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
令
求得
即存在可逆矩阵 , 使得
第八页，共21页。
第九页，共21页。
3. 求行列式
例5：设 是 阶方阵， 是 的 个特征值，
计算
解：
方法1 求 的全部特征值，
再求乘积即为行列式的值。
设
的特征值是
即
的特征值是
第十页，共21页。
方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，
即存在可逆矩阵 , 使得
第十一页，共21页。
4. 判断矩阵是否相似
解：
方法1
的特征值为
令
3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。
例6：已知3阶矩阵 的特征值为1，2，3，
设
问矩阵 能否与对角阵相似？
第十二页，共21页。
即存在可逆矩阵 , 使得
方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，
所以矩阵 能与对角阵相似。
第十三页，共21页。
例7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，
阶方阵 与 有相同的特征值。
证明：
与 相似。
证：设 的n个互异的特征值为
则存在可逆矩阵 , 使得
第十四页，共21页。
又
也是矩阵 的特征值，
所以存在可逆矩阵 , 使得
即
即存在可逆矩阵 ,使得
即 与 相似。
第十五页，共21页。
例8
第十六页，共21页。
第十七页，共21页。
第十八页，共21页。
取何值时，
方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷
多解时，求通解。
解
对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵
例9
第十九页，共21页。
R(A) = R(B) = 2 < 3 ,
有无穷多解，此时
原方程组的同解方程组是
方程组
R（A）= 2 ，R（B）= 3 ，方
程组无解。
第二十页，共21页。
Thank You!
第二十一页，共21页。