文档介绍：易错点10立体几何
【典例分析】
例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）日曷是中国古代用来测定时间的仪器, （球心记为。），地 球上一点A的纬度是指OA与地球3(1,1,0),
设 0m,0,1),则有 DC = (0,1,0),DQ = (m,0,1), PB = (1,1, -1),
设平面QCD的法向量为n = (x, y, z),
DC -n=0 [y = 0
则｛ ，即！ ，
DQ -n = 0 [mx + z = 0
令工=1,则z = —m,所以平面QCQ的一个法向量为〃 =(1,0,—m),则
八八 n - PB 1 + 0 +m cos < n, PB〉= -r-n——| = ——~
\n\\PB\ 73-Vm2+l
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦 值，所以直线与平面所成角的正弦值等于
r 膘 I |1 + 粗| J3 ll + 2m + m2
| cos < n,PB >\= ——/ l 十匕"'十
v3 Jm2 +1 3 \ m2 +1
=—• Ji+4^- <—• Ji+^l <巫• 7TTT =还，当且仅当m = i时取等号，
V m2+l 3 V m2+l 3 3
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为亟.
3
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线 面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
【易错警示】
、锥、台结构特征判断中的误区
【例1】如图所示，几何体的正确说法的序号为.
这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去
一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到. z yx
【错解】(1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围； [/ yz
错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
⑷(5)都错误.
【错因】忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理.
【正解】(4)(5)如图，都正确。正确答案：(1)(3)(4)(5) 【例2】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形CM' B' C的面积为«，则 原梯形的面积为（）
2 C. 2皿 D. 4
【错解】OC的长度皿倍，故其面积是梯形OA' B' C面积的皿倍，梯形OA' B' C的 面积为皿，所以原梯形的面积是2.
【错因】原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样， 0C是直观图中OC'的长度的2倍，OC长度是直观图中梯形的高的«倍，此处易出错.
【正解】原梯形的高OC是直观图中OC'长度的2倍，OC'的长度是直观图中梯形的高的 皿倍，由此知原梯形的高。。的长度是直观图中梯形高的2皿倍，故其面积是梯形 OA' B' C 面积的2皿倍，梯形OA' B' C 的面积为事,所以原梯形的面积是4.
、体积考虑不全.
【例3】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
、 2
【错解】设圆柱的底面半径为r,母线长为/,高为£.当2兀,=4, 1=2时，r=~, h=l=2,
8
所以"柱=兀必=£
【错因】把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底， 一种情况，解决此类问题一定要考虑全面.
【正解】设圆柱的底面半径为r,母线长为I,高为h.
8
当 2兀尸=4, /=2 时，r=~, h=l=2,所以 V ^=Tir2h=-.
1 4
当 2兀尸=2, /=4 时，r=~, 。=/=4, 所以 V圆柱=Tir2h=-.
8 4
综上所述，这个圆柱的体积为义或兰
71 71
【例4】已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线 必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题个数是（）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【错解】如图在正方体A BCD-AiBiCtDi中，对于®ADiC平面AAiDxD, BDU平面A BCD, 与BD
是异面直线，成角60°,①错误；②正确.
对于③，ADiC平面AAiDiD,
AD