文档介绍:相似矩阵 学****课件
第一页,共26页。
一、相似矩阵的概念和性质
定义
对于n阶方阵A和B,若存在n阶可逆方阵P,使得
则称A与B 相似,记为
矩阵的“相似”关系具有以下特性:
(1)反身性:
(2)对称性:
证
相似矩阵 学****课件
第一页,共26页。
一、相似矩阵的概念和性质
定义
对于n阶方阵A和B,若存在n阶可逆方阵P,使得
则称A与B 相似,记为
矩阵的“相似”关系具有以下特性:
(1)反身性:
(2)对称性:
证
(3)传递性:
证
第二页,共26页。
相似矩阵的性质:
定理
相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.
证
推论1 相似矩阵的行列式相等;
推论2 相似矩阵的迹相等;
推论3 若矩阵A与一个对角阵
相似,
第三页,共26页。
注意:
特征值相同的矩阵不一定相似.
但它们不相似,
因为对任意可逆阵P,
即与 E 相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其它性质:
相似矩阵的秩相等;
若P,Q为可逆矩阵,则有
第四页,共26页。
A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。
只证(3),其余证明留作练****br/>(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
第五页,共26页。
例1
解
另解
相似矩阵有相同的特征多项式,由
得
第六页,共26页。
计算上面两个行列式,得到
比较等式两边 同次幂的系数,得
第七页,共26页。
n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
二、矩阵可相似对角化的条件
定理
如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。
证
必要性:
设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆
阵P,使
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即
即
即得
必要性得证。
上述步骤倒过来写,即得充分性证明。
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推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化;但如果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化.
即齐次线性方程组 的基础解系所含的向量个数等于特征根 的重数 。
第十页,共26页。
解
例2
设
求可逆阵P,
第十一页,共26页。
特征向量
特征向量
第十二页,共26页。
特征向量
特征向量
特征向量
第十三页,共26页。
令
则
第十四页,共26页。
解
例3
判断矩阵
能否对角化,若能,
特征向量
求可逆阵P,
第十五页,共26页。
特征向量
可对角化,
第十六页,共26页。
解
只有一个线性无关的特征向量,
例4
判断矩阵
能否对角化,若能,
所以不能对角化.
求可逆阵P,
第十七页,共26页。
例5
解
得A的特征值为
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第十九页,共26页。
例6
解
第二十页,共26页。
从而A可相似对角化.
秩为1,
第二十一页,共26页。
从而A不可相似对角化.
秩为2,
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一般来说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A能对角化,即存在可逆阵P,使得
则
于是
转化为对角阵求幂.
第二十三页,共26页。
例7
解
设
第二十四页,共26页。
第二十五页,共26页。
谢谢
第二十六页,共26页。