三次函数的对称性.pdf

文档介绍：三次函数的对称性
b
二次函数是轴对称图形，如 f (x)  b b
 a(x  )3 [3a( )2  c](x  )  a( )3  d [3a( )2  c]( )
3a 3a 3a 3a 3a 3a
b b b b b b b
而  a( )3  d [3a( )2  c]( )  a( )3  d  b( )2  c( )  f ( )
3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a
b b
f (x)  ax3  bx 2  cx  d(a  0) 的图象关于 ( , f ( ))对称。
3a 3a
证明 2：设函数 f (x)  ax3  bx 2  cx  d(a  0) 的对称中心为（m，n）。
按向量 a  (m,n) 将函数的图象平移，则所得函数 y  f (x  m)  n 是奇函数，所以
f (x  m)  f (x  m)  2n  0
化简得：
上式对 恒成立，故
，得
，。
所以，函数 的对称中心是（ ）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数 y  f (x) 的对称轴上，且又是两个极值点的中点。
（Ⅰ）已知函数 f (x)=x 3 -x ， 其图象记为曲线 C 。
（i）求函数 f (x) 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 x ，曲线 C 与其在点 P (x ,f(x )) 处的切线交于另一点
1 1 1 1
P (x ,f(x )) ，曲线 C 与其在点 P (x ,f(x )) 处的切线交于另一点 P (x ,f(x )) ，线段
2 2 2 2 2 2 3 3