文档介绍：有限元分析及应用
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在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。
若用指标记法：
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
（2-1）
（2-2）
（2-3）
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克罗内克符号
在笛卡尔直角坐标系下，由
表示的Kronecker
(克罗内克)符号定义为
亦即
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那么，矩阵
=
是单位矩阵。
根据上述定义，可以推出下列关系
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弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体，称为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹性力学的基本方程。
弹性力学的基本方法
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从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界（表面）条件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问题的基本方法。
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空间问题的基本方程
dy
dx
dz
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3D情形下的力学基本变量
将正应力和正应变简写成
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a’
b
b’
a
a’
d
d’
c
c’
xy
xy
yx
yx
yz
yz
zy
zy
zx
zx
xz
xz
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由力平衡条件
有：
化简得到
平衡微分方程
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平衡微分方程的矩阵形式为
其中，
是微分算子
式中，b是体积力向量，
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由力矩平衡条件
有：
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
略去微量项，得
剪切力互等定律
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二维问题：平衡微分方程
剪切力互等定律
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应力边界条件
四面微分体Mabc
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斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中未标出），是四面微分体的高。
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四面微分体的体积为
假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐标轴上的投影分别为
体积力分量为X、Y、Z。
设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分面的面积为 Mac=dA×l， Mab= dA×m， Mcb= dA×n。
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考虑
将上式除以dA，并注意到体积力项
当令dh→0取极限时，体积力一项趋于零。
由此得到
考虑
考虑
应力边界条件
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二维问题：应力边界条件
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圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
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均匀分布载荷作用下的平板，应力分布是均匀的。
材料力学中的拉伸应力计算公式就是圣维南原理应用的结论。
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一对集中力F/2作用点区域仍然有比较大的应力梯度变化，但是比等效力系F作用的变化小。
远离力的作用点区域，应力分布仍然均匀。而且均匀区域更大。
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几何方程：位移与应变的关系
B1
A1
θ1
θ2
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设P点的位移分量为u和v，由于坐标x有一增量dx，A点的位移较P点的位移也有一相应的增量，从而A点的位移分量为：。
同理，B点的位移分量为：
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在小变形的前提下，∠A’P’A1很小，可以认为，线段PA位移后的绝对伸长，可以用线段两端点沿x轴的位移之差来表示，即：。
从而线段PA的正应变为：。
同理线段PB的正应变为：。
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对于三维情况的微分体，可以得到：
因此，可以总结为：
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下面，研究线段PA与PB间所夹直角的变化，即剪应变 γ xy。这个剪应变由两部分组成，一部分是与x轴相平行的PA向y轴方向的转角θ1；另一部分是与y轴平行的线段PB向x轴方向的转角 θ2 。在小变形情况下
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上式分母中的，可以略去。从而上式可简写为：
同样可得：
线段PA与PB间的剪应变 γ xy等于θ1与 θ2 之和：
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