复变函数总结.pdf

文档介绍：第一章 复数与复变函数
一、复数几种表示
（1）代数表示 z  x  yi
（2）几何表示：用复平面上点表示
（复数 z 、点 z 、向量 z 视为同一概念）
（3）e z  e xeiy  e x (cos y  i sin y)
性质：（1） e z 是单值函数，
（2） e z 除无穷远点外处处有定义
（3） ez  0
（4） e z 处处解析，(e z )  e z
（ ） z z z z
5 e 1 2  e 1 e 2
（6） e z 是周期函数，周期是2ki
2、对数函数 w  Lnz  ln | z | i arg z  i2k （多值函数）
主值（枝）ln z  ln | z | i arg z （单值函数）
性质：（1）定义域是 z  0 ，
（2）多值函数
（3）除去原点和负实轴的平面内连续
1 1
(Lnz)  (ln z) 
（4）除去原点和负实轴的平面内解析， z ， z ，
（5） Ln(z z )  Lnz  Lnz
1 2 1 2
z
Ln 1  Lnz  Lnz
z 1 2
2
3、幂函数 w  z  eLnz (z  0, 是复常数）
（1） 为正整数，函数单值、处处解析，
（2） 为负整数，函数单值、除去 z  0及其负实轴处处解析，
4、三角函数
欧拉公式 ei  cos  i sinei  ei ei  ei
或 cos  , sin 
2 2i
eiz  eiz eiz  eiz
定义： cos z  , sin z 
2 2i
tan z  sin z / cos z, cot z  cos z / sin z
sec z 1/ cos z, csc z 1/ sin z
性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样
各种三角公式、求导公式照搬
注：sin z,cos z 的有界性 保护成立。
第三章