文档介绍：2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
文科数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦 B) = sin B sin (C - A) ．
（1）若 A = 2B ，求 C；
（2）证明： 2a2 = b2 + c2 . 18．（12 分）
如图，四面体 ABCD 中， AD ^ CD, AD = CD, ÐADB = ÐBDC ，E 为 AC 的中点．
证明：平面 BED ^ 平面 ACD；
设 AB = BD = 2, ÐACB = 60° ，点 F 在 BD 上，当△AFC 的面积最小时，求三棱锥 F - ABC 的体积．
样本号 i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积 xi

19．（12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒ft改造成了绿水青ft．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： m2 ）和材积量（单位： m3 ），得到如下数据：
材积量 yi

10 10 10
并计算得å x2 = ， å y2 = ， å x y
= ．
i
i=1
i
i=1
i i
i=1
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到）；
现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

n
å( xi - x )( yi - y )
å i
n
( x - x
) (
2
å
n
y - y
)
2
i
i=1
i=1
附：相关系数 r = i=1 ，

» ．
20．（12 分）已知函数 f ( x) = ax - 1 - (a + 1) ln x ．
x
当a = 0 时，求 f ( x) 的最大值；
若 f ( x) 恰有一个零点，求 a 的取值范围．
21．（12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 A(0, -2), B æ 3 , -1ö 两点．
ç 2 ÷
è ø
求 E 的方程；
设过点 P(1, -2) 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足
MT = TH ，证明：直线 HN 过定点．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ìï x =
3 cos 2t,
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴
î
íï y = 2 sin t
为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为rsin æq+ π ö + m = 0 ．
ç 3 ÷
è ø
写出 l 的直角坐标方程；
若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
3 3 3
已知 a，b，c 都是正数，且a 2 + b2 + c 2 = 1，证明：
（1） abc £ 1 ；
9
2 abc
a
（2） + b + c £ 1 ．

b + c a + c a + b
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1. A 2. A 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A 10. D 11. D 12. C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 2
3