文档介绍：稳定性判别方法 1. 线性定常系统的稳定性判别定理 设?(t)?Ax(t). () x 则(i) 平衡点稳定?A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块; (ii) 平衡点渐近稳定?A (i) 因是线性系统, 只需证明平衡点 xe?0 的稳定性. 共 28页?J1????1? 设 TAT?J?. ??Jm???? (注: 与能控标准变换不同) 其中 Ji,i?1,2,?m 为约当块,则?e?AtJt?1x(t)?ex0?TeTx0?T??? 而 eJitJ1t???1. ?Tx0?Jmte?? 或 teki?it?j?it 的非零元素形如?ee 或 te?????itki?it?i??i?j?i?it?j?it 共 28页 ki? 约当块阶数减 1. ??1? 如 Ji??, 则??0?? ??1?s???L??0????teJit??1?1??s????1??1???L??s???????0????1??2??(s??) ?? 1????s?????e ???0te?te?t?? ? 共 28页若?i?0. 则 limtet???ki?it?j?it?0?te j?itki?it?j?it 有界; 若?i?0 且对应一阶约当块?e 故有 K > 0, 其中??At?K,t?0. 对???0 ,取???/K. 当 x0?0?? x(t)?ex0?Kx0??, 故稳定; 共 28页 At (ii) 若全为?i?0, 则全 limtet???ki?it?j?it?0? 渐近稳定. 例 设系统矩阵分别如下: ?01??01??01?. (1)A??;(2)A?;(3)A???????00??0?2???1?2? 试判别 xe?0 (1) 由?(?)??, 得??0(2 重), xe?0 不稳定. (2) 由?(?)??(??2), 得?1??2? 0和?2?0, 因?2? 0 对应一阶约当块?xe? 28页2 (3) 由?(?)?(??1), 得?1,2??1?0?xe?0 渐近稳定. 若 n?3, 常用 Hurwitz 判别法( 介绍). 定理 常系数 n 次代数方程 2 a0??a1?nn?1???an?1??an?0,(a0?0) 的所有根的具有负实部? 下列不等式同时成立: a1a00a1a0?1?a1?0,?2??0,?3?a3a2a1?0, a3a2a5a4a3 共 28页? 0a0? ?? 00?0. a1 ?n? a3?a2n?1 a0a2?a2n?2 0a1?a2n?3 ?? a2n?4?an 其中 an?1?an?2???a2n?1?0. 例 验证系统矩阵为??21?1???A?1?10 ????11?1?? 时, xe?0 28页证由??2 |?I?A|??1 ?1?110???4??5??3,32??1?1??1. (a0?1?0) 得 a0?0 及?1?a1?4?0, a1?2?a3a041??17?0, a235 共 28页?3?a3?2?51?0, 由 Hurwitz 判别法? 所有特征值有负实部? 渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法. 2. 稳定性的李雅普