文档介绍：6. 4反三角函数(反正弦函数)(1)教案
教学目的：
IT JT
理解函数y=sinx (xeR)没有反函数；理解函数y=sinx, xe , 一]有反函数；理解反正弦函数
2 2
JT 7T
y=arcsinx的概念，掌握反2.
用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：
(1)
V2 「冗冗r / x 1 「冗冗
sinx= ，xC］一一，一 J ； (2) sinx二一一，x^L一一，一
- -- 5 2 2
n 7t
解:
(1)
TT
因为X右［-一,
2
, V2
由定义，可知x=arcsin ；
3
(2)
IT
因为［-一，
2
由定义，可知x=arcsin (-y )=
1
arcsin y；
(3)
7T
在区间0］上,
2
由定义，可知x=arcsin (-—)
3
arcsin ；
3
在区间［-兀，由诱导公式，可知x=- Ji +arcsin——,
2 3
满足 sinx=--^-
3
73 V3
因此 x二 arcsin 或 x二一兀+arcsin
一 3
例3.
化简下列各式:
(1)
arcsin (sin—)；
7
4〃
(2) arcsin (sin ) ； * (3) arcsin (sin2007°)
5
解:
'j'j'j
—］, 设 sin — = a , 所以 arcsin a 二一，艮P arcsin
2 7 7
(sin-)
7
4〃 n " 〃 " n . n .4〃 . ti .…
因为——金1_一一，一」，而一£|_一一，一」，且 sin —二 sin——，攻 sin —二 sin 二 a,
5 2 2 5 2 2 5 5 5 5
4/T 71 71
(sin ) = arcsin (sin—)=arcsina 二一.
5 5 5
(2)
所以arcsin
因为 sin2007°=sin (5X360°+207°) =sin207°=sin (180°+27°) =-sin27° 所以 arcsin (sin2007°) = arcsin (-sin27°) =- arcsin(sin27°) =- 27°.
（x） =2arcsin2x的反函数尸（x）,并指出反函数的定义域和值域.
解：设 y=2arcsin2x, 则』二 arcsin2x,
2
7t n
JI JI I I
因为 2xC [-1, 1], arcsin2x^ [-一，一],所以[-一, 一], [一 ji, ji
2 2 2 2
根据反正弦函数的定义，得2x=sin>, x=-
2 2
将X, y互换，得反函数尸
（X）、
sin—,
2
定义域是［-JI,刀］,值域是
2 2
五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）
1、求下列反三角函数的值：
(1) arc sin
(1) arc sin
(2)
(2)
六、拓展探究（2个）
arc sinl=
2、
71
10 J
arc sin sin —
例：arcsin (-x)=-arcsinx, x£[T, 1]
证明：