文档介绍：探讨函数的对称性
宜城三中 官雄平 齐国辉
函数既是中学数学骨干知识的交汇点，又是数学思想方法的综合点，还是初等数学与高等数学的衔接点。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，其中包括函数自身的对称性和不同探讨函数的对称性
宜城三中 官雄平 齐国辉
函数既是中学数学骨干知识的交汇点，又是数学思想方法的综合点，还是初等数学与高等数学的衔接点。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，其中包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面，下面我们就这两个方面进行探究.
首先我们来看几个重要结论:
①若恒成立,则y=f(x)的图像关于对称;
②y=f(a+x)与y=f(b-x) 的图像关于对称;
③若函数y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期;
④若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期;
⑤若函数y=f(x) 图像关于点A(a,c)成中心对称,又关于直线x=b成轴对称 (),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.
一、函数自身的对称性
=f(x)的图像关于点A（a,b）对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b
原理: 证明函数图像的对称性,即证明图像上的任意一点关于对称中心(或轴)的对称点仍在图像上.
证明：（必要性）设点P（x,y）是y=f(x) 图像上任一点，点P（x,y）关于点A（a,b）的对称点（2a--y）也在y=f(x) 图像上，2b-y=f(2a-x)即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P（）是y=f(x) 图像上任一点，则。即故点也在y=f(x) 图像上，而点P与点
关于点A（a,b）对称，充分性得证。
推论：函数y=f(x) 图像关于原点O（0，0）对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0
定理2. 函数y=f(x) 图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x) (证明留给读者)
推论: 函数y=f(x)图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)
定理3.①若函数y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期. (证明留给读者)
②若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.
证明:由定理2知,函数y=f(x) 图像关于直线x=a和直线x=b成轴对称(),
则有和即和,
, 是函数y=f(x)的一个周期.
③若函数y=f(x) 图像关于点A(a,c)成中心对称,又关于直线x=b成轴对称 (),则y=f(x