文档介绍：第四章 杆件的变形计算
第一页，共48页。
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗
杆件在轴线方向的伸长
纵向应变
由胡克定律
得到轴向拉压变形公式
第一节 拉压杆的轴向变形
系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。
第二十三页，共48页。
挠度和转角的关系
在小变形假设条件下
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
第二十四页，共48页。
二、挠曲线近似微分方程
纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。
高等数学中，关于曲率的公式
在梁小变形情况下，
第二十五页，共48页。
梁的挠曲线近似微分方程最终可写为
第二十六页，共48页。
梁的挠曲线近似微分方程
对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）
再进行一次积分,可得到挠度方程
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。
第四节 用积分法求梁的弯曲变形
第二十七页，共48页。
边界条件
在约束处的转角或挠度可以确定
第二十八页，共48页。
连续条件
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。
第二十九页，共48页。
例4-5
如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度 。
第三十页，共48页。
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程 请同学们自己做一下（时间:1分钟）
（2）挠曲线近似微分方程
（3）积分
第三十一页，共48页。
（4）确定积分常数 由边界条件
代入上面两式
（5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程
第三十二页，共48页。
（6）求B点的挠度和转角
在自由端 ， x = l
第三十三页，共48页。
例4-6(教材75页例4-5)
如图所示，简支梁受集中力F 作用，已知EI 为常量。试求B 端转角和跨中挠度。
第三十四页，共48页。
（1）求约束反力
FA
FB
（2）列出弯矩方程
AC段
CB段
（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算
第三十五页，共48页。
FA
FB
（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算
AC段
CB段
第三十六页，共48页。
FA
FB
利用边界条件和连续条件确定四个积分常数
AC段
CB段
边界条件:
连续条件:
由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。 即
代入上面的式子
第三十七页，共48页。
FA
FB
得到转角方程和挠度方程
AC段
CB段
（5）求指定截面处的挠度和转角
若
第三十八页，共48页。
通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。
在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。
用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材78~79页表4-2计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。
第五节 用叠加法求梁的弯曲变形
第三十九页，共4