文档介绍：高等代数(北大版)第7章****题参考答案
高等代数(北大版)第7章****题参考答案
高等代数(北大版)第7章****题参考答案
第七章 线性变换
1． 鉴别下边所定义的变换那些是线性的，那些不是：
a=(x,y,z) ，则有
因为
Aa=(x,-z,y),
A 2 a=(x,-y,-z) ， A 3 a=(x,z,-y),
A 4 a=(x,y,z) ，
Ba=(z,y,-x),
B
2
3
B
4
a=(-x,y,-z) ， B
a=(-z,y,x),
a=(x,y,z) ，
Ca=(-y,x,z),
C
2
3
C
4
a=(-x,-y,z) ， C
a=(y,-x,z),
a=(x,y,z) ，
所以 A4
=B
4
=C
4
=E 。
因为 AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) ， BA (a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) ，所以 AB BA。
3)因为 A 2
B 2 (a)= A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z) ， B 2 A 2 (a)= B 2
(x,-y,-z)=(-x,-y,z) ，
所以 A2
B
2
=B
2
A
2 。
4)因为 (AB )
2
2
2
(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) ， A
B (a)=(-x,-y,z) ，
所以 (AB) 2
A
2
B
2 。
P[x]
中， A f ( x)
f ' ( x), B f (x) xf ( x) ，证明 :AB-BA=E 。
证 任取 f ( x)
P[x] ，则有
(AB-BA ) f ( x) =AB f (x) -BA f (x) =A ( xf (x)) -B( f '
( x)) = f ( x)
xf ; (x) - xf ' ( x) = f (x)
所以
AB-BA=E 。
A,B 是线性变换，假如 AB-BA=E ，证明： A k B-BA k = k A k 1
(k>1) 。
证 采纳数学概括法。当
k=2 时
A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA
2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=
2a，结论建立。
概括假定 k
m 时结论建立，即
A m B-BA m = m A m
1 。则当 k m 1时，有
A m 1 B-BA m 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BA m 1 )=A m (AB-BA)+(A
m B-BA m )A=A m E+ m A
m 1 A= (m
1) A m 。
高等代数(北大版)第7章****题参考答案
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高等代数(北大版)第7章****题参考答案
即 k
m
1
时结论建立 .故对全部 k
1 结论建立。
：可逆变换是双射。
证 设 A 是可逆变换，它的逆变换为
A 1 。
若 a b
，则必有 A a
A b，否则设 Aa=A b，两边左乘 A 1 ，有 a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一直量 b，必有 a 使 A a=b，事实上 ,令 A 1 b=a 即可。所以 ,A 是一个双射。
1 ,
2 ,
,
n 是线性空间 V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。 证明： A 是可逆变换当且
仅当 A
1 ,A
2 ,
,A
n 线性没关。
证因A( 1,
2 ,
,
n )=( A 1 ,A
2 ,
,A
n )=( 1 ,
2 ,
, n )A ，
故 A 可逆的充要条件是矩阵
A 可逆，而矩阵 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 ,
,A
n 线性无
关，故 A 可逆的充要条件是
A
1 ,A
2 ,
,A n 线性没关 .。