文档介绍：------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————工程电磁场关于静电场和电流的一些问题的探讨 1 .关于微分形式: 电磁学或者电动力学中遇到的数学都是我们非常熟悉的,例如: 第二型曲线积分和旋度; 第二型曲面积分和散度; 还有标量场的梯度。实际上,这些都可以用微分形式替代。对于的三个同构映射: ;;; 其中, 为旋度: 梯度: 由于, 于是上有的微分形式都可以用矢量与, 绝大多数情况下我们可以认, 即所有闭的微分形式同时也是恰当的。鉴,; 散度:,,;; 函数“代替”。对于,我们自然可以得到如下于此我们可以用微分形式替代原有的表述, 例如:,; 外积:, 在电磁学中, 磁感应强度(二形式)自,其中称为磁矢势。而静电场,其然可以表示为:的电场强度(一形式)自然可以表示为: ------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————求出辅助量或,进而再去求解或。 2. 关于基本方程: 中称为静电势。在解决电磁学问题时, 我们可以先考虑 Maxwell 方程的一种特殊情况,即研究不随时间变化的场, 这时候电场与磁场之间去耦合,我们可以得到描述静电场的基本方程:; ;这是静电场的基本方程,不过高斯定律任何情况下都成立,而安培环路定律仅仅对静电场成立。由此, 利用电势, 我们可以将基本方程化为, 即静电场的泊松方程。其解的存在性与唯一性是一个有趣的问题,不过,这次我们先不去考虑它,把它留到以后再说。对于静电场,我们可以写其作用量为: ,容易发现它和静电场能量的关系为, 。一般的,系统的基本方程等价于,也就是说,基本方程的解仅仅能保证作用量取驻值, 而不能保证其取极小值。不过, 对于泊松方程的第一边值问题( ) ,我们可以证明:; 。进一步的,我们可以得到,泊松方程是静电场的作用量: 要条件(而不仅仅是必要条件)。 3 .关于边值关系: 我们利用散度定理和旋度定理把 Maxwell 方程从积分形式化成微分形式的时候要求场量一定要是可微取极小值的充的, 对于场量不连续的情况公式就不能用了。不过, 场量不连续性在物理上有着十分重要的意义,即不同介质分界面上场量的“突------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————变”。描述分界面上场量突变情况的方程称为边值关系,它可以由积分形式推导出来。而当我们求解电磁场的微分方程时, 我们给出的边界条件必须与相应的边值关系相容。具体来说,边值关系为: ;; 的两个边值关系写为: ;4 .关于介质: 这是一个内容丰富且比较复杂的问题, 不过在电动力学中, 我们大部分情况下仅仅考虑:线性的,各